對2017年全國卷理科第20題的解法探究與拓展*

●凡勝富 (阜陽市第三中學,安徽 阜陽 236000)

●蔣 娟 (阜陽市潁泉小學,安徽 阜陽 236000)

?

對2017年全國卷理科第20題的解法探究與拓展*

●凡勝富 (阜陽市第三中學,安徽 阜陽 236000)

●蔣 娟 (阜陽市潁泉小學,安徽 阜陽 236000)

圓錐曲線定點問題是高考中一個熱點問題.由于運算能力要求高、綜合性強，也是學生比較懼怕的問題之一.文章通過對一道高考題的解法分析，引導學生進行審題，如何進行解題方法的選擇、思考視角的選擇、以及對試題的拓展.

切入點；特征；幾何關系；推論

1 題目呈現，理清思路

1)求C的方程；

2)設直線l不經過點P2且與C相交于點A,B，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點．

(2017年全國數學高考新課標卷理科試題第20題)

分析 這是一道經典的圓錐曲線定點問題，其考查的知識涉及解析幾何的重點內容.通常借助方程的思想進行分析、解答，利用解方程或根與系數的關系求解，同時通過靈活利用圖形的幾何特征及代數表達式的特征逐步優化，這類試題的綜合性和靈活性較強.

2 挖掘條件，分析解答

視角1 由線切入，尋找幾何關系

證法1 (從直線PA，PB入手，求出直線AB的方程)設直線P2A:y=k1x+1，P2B:y=k2x+1，且k1+k2=-1,聯立方程組

得

從而

同理可得

于是直線AB的斜率為

因此直線AB的方程為

即

亦即

故直線l過定點(2,-1).

評注 注意到點P2的坐標為(0,1),故從直線P2A與P2B的方程切入，求出點A,B的坐標，再通過兩點求出直線方程，從而確定定點.解題過程中利用k1+k2=-1，把式中括號部分均轉換為只含參數k1，目的是把方程轉化為點斜式形式，給化簡指明方向.

證法2 (直接從直線AB入手，尋找參數k和b的關系) 1)當直線l的斜率不存在時，設l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA),則

得m=2，此時l過橢圓的右頂點，不存在兩個交點，故不滿足題意．

(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,

從而

又b≠1，得b=-2k-1，此時Δ=-64k，即存在k<0，使得Δ>0成立．因此直線l的方程為

y=kx-2k-1=k(x-2)-1，

當x=2時，y=-1，故l過定點(2,-1)．

評注 證法1利用點A,B坐標來求直線AB的方程，運算量較大；證法2直接設直線AB的方程，聯立方程組，通過對A,B的坐標設而不求來表示直線P2A與直線P2B的斜率的之和為-1，從而得到兩個變量的關系來確定定點.

證法3 (利用點A,B,M共線進行優化)設直線P2A:y=k1x+1，P2B:y=k2x+1，且k1+k2=-1,聯立方程組

得

從而

同理可得

假設直線l過定點M(a,b)，由于點A,B,M共線，從而

恒成立.又因為k1+k2=-1，所以

評注 考慮到證法1利用A,B坐標求出直線AB的方程，所得直線方程形式復雜不易得到定點，于是通過點A,B,P2共線這種幾何關系來優化，從而得到恒等式，利用對應部分系數相等，得到定點坐標.

視角2 由點切入，尋找幾何關系

解得m=2，此時A(2,0)，B(2,0)不合題意.

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-n=k(x-m)，其中n-km≠1,A(x1,y1,),B(x2,y2)，由

得 (1+4k2)x2+8k(n-km)x+4[(n-km)2-1]=0.

由Δ>0，可得

4k2-(n-km)2+1>0,

從而

又直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，得

即

亦即 (2k+1)x1x2+(n-km-1)(x1+x2)=0,

化簡得 (n-km-1)[(2-m)k+1+m]=0.

因為n-km≠1，所以

(2-m)k+1+n=0，

又m,n是定值，k是變量，得

2-m=0, 1+n=0，

解得m=2,n=-1,故直線l過定點(2,-1).

評注 從隱定點切入，通過定點在直線上，反設直線AB的方程及點A,B的坐標，再利用直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，建立等式，求出定點坐標.

證法5 (從點A,B入手，利用代數式特征進行優化)設A(x1,y1)，B(x2,y2),因為點A,B,P2均在橢圓上，所以

(1)

(2)

式(1)-式(2)得

(x1+0)(x1-0)+4(y1+1)(y1-1)=0,

即

亦即

(x1-0)+4(y1-1)kP2A+8kP2A=0,

從而

同理可得

設直線l過定點M(m+0,n+1)，則

恒成立，即

因為上式恒成立，所以對應系數相等,可得：m=2,n=-2，故直線l過定點(2,-1).

評注 從點A,B的坐標切入，利用A,B在橢圓上其坐標滿足橢圓方程，利用代數式特征來構造直線P2A與直線P2B的斜率形式，再通過巧設定點坐標M(m+0,n+1),使得運算量減少.

3 探究本質，推廣結論

解題重在解，貴在思，解答題目本身是表象，推廣、提升才能真正體現命題人的意圖，才能提高解題能力和效率.那么，上述問題能否推廣到一般的橢圓呢？答案是肯定的.

證明 設直線l1的斜率為k，則l2的斜率為m-k，依題意知k存在，設直線l1的方程為

y=k(x-x0)+y0，

且l1與橢圓交于點A(x1,y1),設直線l2的方程為

y=(m-k)(x-x0)+y0，

且l2與橢圓交于點B(x2,y2).因為P(x0,y0)，A(x1,y1)在橢圓上，所以

兩式相減得

即

亦即

消去x1，得

從而

同理可得

由結論1可以推導出以下兩個推論：

4 理想類比，延伸結論

基于上面的分析，此題還可以作以下推廣和延伸：

5 結束語

通過對上述結論的探究，我們進一步認識到橢圓、雙曲線、拋物線等曲線，除了自身存在一定的規律性外，圓錐曲線之間也存在一定的規律性[1]，需要認真研究試題，發掘其真正的內含，探索出新的規律性結論，并用于教學中，才可以真正深化思維，優美解法，提升解題效率.

[1] 徐永強.對一道圓錐曲線問題的探究與拓展[J].中學數學，2016(9):87-88.

?2017-06-15；

2017-07-03

凡勝富(1980-)，男，安徽阜陽人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-44-04