1個公式 5類問題 14年高考*
——對角線向量定理在浙江高考中的妙用

●吳淑芳 朱成萬

(杭州第十四中學,浙江 杭州 310006)

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1個公式 5類問題 14年高考*
——對角線向量定理在浙江高考中的妙用

●吳淑芳 朱成萬

(杭州第十四中學,浙江 杭州 310006)

浙江省數學高考試題有自己的風格和特點，常考常新，每年總有1～2道試題能被同一對角線向量定理秒殺．文章對該定理的應用進行分類解析，形成通解通法，實現從復習到考試的軟著陸．

對角線向量定理;通解通法；極化恒等式

浙江省數學高考自主命題，從2004年以來，已經成功地實現了軟著陸，并形成了自己的特點和風格[1]．對主干知識的考查每年從不同的角度設問，常考常新，推陳出新．筆者研究發現：這14年(2004～2017)的浙江省數學高考試卷中每年都有1～2道試題能被同一個公式秒殺，這個公式就是：

(1)

筆者稱式(1)為對角線向量定理(文獻[2]稱之為四點向量定理，筆者認為把它叫做對角線向量定理更能體現該公式的特點)．它可以用來破解高考試題中有關平面向量數量積問題和立體幾何中的異面直線所成角、線面角以及二面角等空間角度問題，也可以破解立體幾何中有關距離的問題和翻

折問題．

1 對角線向量定理

圖1

如圖1，在△ABC中，由余弦定理的向量式得

在△ADC中，同理可得

因此在四邊形ABCD中，

,

(1)

式(1)就是對角線向量定理，它表明：四邊形的兩條對角線對應向量的數量積可用4條邊的長度表示．該定理的兩個推論是顯而易見的．

(2)

式(2)表明：當對角線互相垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等．

推論2

(3)

圖2

式(3)可以求平面或空間的角度問題，包括線線角、線面角和二面角．

需要說明的是，式(1)～(3)既適用于平面向量也適用于空間向量(如圖2所示)．

2 用對角線向量定理妙解浙江高考題

為了理解上的方便，筆者以知識內容為標準進行分類解析，從以下5個方面欣賞對角線向量定理在歷年浙江省數學高考試題中的妙解．

2.1 用對角線向量定理妙解平面向量題

向量的數量積是向量中的一個重要問題，也是每年浙江省數學高考必考的核心內容之一．根據式(1)，當四邊形4條邊的長度可控時(不要求4條邊的長度都是已知的定值)，就可以求對角線所在向量的數量積．

( )

A．I1

C．I3

(2017年浙江省數學高考試題第10題)

解 由對角線向量定理得

所以I3

圖3 圖4

( )

A.-8 B.-1 C.1 D.8

(2012年浙江省數學高考樣卷第9題)

解 由對角線向量定理得

故選D．

( )

A．b2-a2B．a2-b2

C．a2+b2D．ab

(2013年浙江省數學高考樣卷第5題)

圖5 圖6

解 由對角線向量定理得

b2-a2.

故選A．

2．2 用對角線向量定理妙解線線角

求空間直線所成角通常有兩種方法:一是作輔助線(平行線);二是建立空間直角坐標系，用坐標運算．利用推論2，可以很方便地求出兩條異面直線所成角的余弦(避免了作輔助線和繁復的坐標運算)．下面舉兩個例子，體會對角線向量定理在破解空間直線所成角問題中的威力．

例4 設M,N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于點E(如圖6)．現將△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B為45°，此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B，則點M,N的連線與AE所成角的大小為______．

(2005年浙江省數學高考理科試題第12題)

解 由題意得AM=EM.因為翻折后AB⊥面BCDE，∠AEB=45°,所以AN=EN.由對角線向量定理得

圖7

例5 如圖7，三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2,點M,N分別是AD,BC的中點，則異面直線AN,CM所成角的余弦值是______．

(2015年浙江省數學高考理科試題第13題)

解 容易求得

由推論2得

用向量法求線面角β:首先要找到平面的法向量n，再求法向量與所求直線方向向量的夾角θ，要注意角β與θ是互余的．用對角線向量定理求空間線面角的方法與步驟也是這樣的，不過我們所用到的法向量，不必用坐標法求出，只需找平面的一條垂線段即可．

例6 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，點D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

( )

(2004年浙江省數學高考理科試題第10題)

故選D．

圖8 圖9

例7 如圖9，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，點M，N分別為PC，PB的中點．

1)求證：PB⊥DM；

2)求CD與平面ADMN所成的角．

(2006年浙江省數學高考理科試題第17題)

1)證明 因為N是PB的中點，PA=AB，所以AN⊥PB．又AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB，于是PB⊥平面ADMN．由DM?平面ADMN，知PB⊥DM．

2．4 用對角線向量定理妙解空間二面角

二面角是立體幾何的重要內容，也是浙江省數學高考每年必考題目之一(特別是在立體幾何的大題中)．求二面角的大小通常需要建立空間坐標系，通過坐標運算求出法向量，進而求解；或者通過二面角的平面角定義作出平面角(這是一個難點)．用對角線向量定理求二面角給出了一種全新的視角．

圖10

1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

2)點M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點C與點A′重合，求線段FM的長．

(2010年浙江省數學高考理科試題第20題)

2)略．

2．5 用對角線向量定理妙解立體幾何翻折問題

用對角線向量定理破解翻折問題，可以通過代數運算來刻畫邊長與角度的變化，降低對空間想象能力的要求．

例9 如圖11，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點．現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK=t，則t的取值范圍是______．

(2009年浙江省數學高考理科試題第17題)

圖11

解 因為面ABD⊥面ABC,又DK⊥AB，所以DK⊥面ABCF，故DK⊥AF.根據推論1可知：當DK⊥AF時，

設DF=x(其中x>1)，則

x2+t2=12+[(x-t)2+1],

從而

( )

A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置，直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數學高考理科試題第10題)

顯然AC與直線BD不垂直．而

當AC=1時，直線AB與直線CD垂直.故選B．

例11 如圖12，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則

( )

A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

(2015年浙江省數學高考理科試題第8題)

圖12 圖13

所以

cos∠A′DB≤cosα，

即∠A′DB≥α.故選B．

評注 這是同一份試卷第二次出現此類問題．

圖14

(2016年浙江省數學高考文科試題第14題)

解 翻折后仍有

設直線AC與BD′所成角為θ，由對角線向量定理得

當且僅當BD′最小時，AC與BD′所成角的余弦值最大．

3 從對角線向量定理到極化恒等式

設M是CD的中點，則

這就是極化恒等式，它可以由對角線向量定理推導而來，因此可將極化恒等式作為對角線向量定理的一個推論．從形式上看，極化恒等式揭示的也是向量數量積與對角線之間的關系[3]．

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

圖15

解 如圖15，取線段BC的中點M，則

對角線向量定理還可以秒殺更多的試題，限于篇幅，不再舉例．研究用對角線向量定理秒殺一類浙江省數學高考試題，并不是追求高難度的解題技巧，相反，是尋求問題的通解通法,形成統一解法，著意于解題工具的選擇，著意于數學問題的理解，直透問題的本質，看出題目的結果．

[1] 高考數學研究組．浙江數學高考2004一路走來[M]．杭州：浙江大學出版社，2016．

[2] 范廣發.用四點向量定理破解空間角難題[J]．中小學數學:高中，2017(3)：58-60．

[3] 王紅權，李學軍，朱成萬．巧用極化恒等式 妙解一類向量題[J]，中學教研(數學)，2013(8)：24-25．

?2017-06-15；

2017-07-03

吳淑芳(1978-)，女，浙江東陽人，中學一級教師.研究方向:數學教育．

O123.1

A

1003-6407(2017)08-36-05