橢圓標準方程的推導及教材改進的建議*

●周順鈿

(杭州高級中學，浙江 杭州 310003)

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橢圓標準方程的推導及教材改進的建議*

●周順鈿

(杭州高級中學，浙江 杭州 310003)

為檢查和評估青年教師的教學業務水平，學校以《數學(選修2-1)》第2.2節“橢圓”為課題，進行教學展示.從教學效果看，青年教師對教材的理解、處理等方面存在一些不足，對教材中內隱的知識不能進行有效挖掘，這一方面說明青年教師的成長需要得到指導，另一方面也說明教材也有需要改進的地方.為方便教材從學術形態轉化為教學形態，建議在教材設計中以旁白、想一想、思考等不同方式對教材中隱晦的結果給出顯性的指示，以幫助更多青年教師迅速走上正確的教學軌道.

運算；推理；拓展；引伸；改進；建議

教師是學校最豐富、最有潛力、最有生命力的教育資源，而青年教師更是學校的寶貴財富，是學校的未來和希望，青年教師的培養是教育教學質量可持續發展的關鍵環節.隨著學校規模的持續擴大，青年教師的隊伍也不斷壯大，為提高青年教師準確把握課標、正確處理教材和靈活運用教法的能力，學校以“橢圓的標準方程”為課題，通過同課異構的方式匯報交流，對青年教師的教學素養進行考察.在教學過程中，青年教師能基本達成課程目標，但對教材的重點和難點的把握不夠精準，對教學時間的掌控能力也有待提高.

本節課的核心是橢圓標準方程的推導過程，需要突破3個難點：1)橢圓定義如何產生；2)橢圓的標準方程如何推導；3)從橢圓標準方程的推導過程中能提煉出橢圓的哪些幾何特征.文章就上述3個問題，對教師的教學及教材的改進給出一些意見和建議.

1 橢圓定義的產生

通過引言以及日常生活的體驗，讓學生了解橢圓的直觀形狀.但為了讓學生能自然地產生橢圓的定義，建議先讓學生進行一番由淺入深的探究.

探究1 取一條定長2a的細繩，把它的兩端固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察筆尖(動點)畫出軌跡的形狀.

探究2 在探究1中，把細繩的兩端固定在圖板的兩個點處(如圖1)，保持細繩松弛，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察筆尖(動點)畫出軌跡的形狀.

圖1

探究3 在探究2中，當細繩兩端間的距離增大或縮小時，觀察筆尖(動點)畫出軌跡的形狀如何變化.

由于課堂時間的限制，建議課前將上述3個探究提交給學生，并將學生的探究結果通過投影儀(或多媒體)呈現在課堂上.

探究1的結論 筆尖(動點)畫出的軌跡是以固定點為圓心、a為半徑的圓周.

探究2的結論 筆尖(動點)畫出的軌跡是橢圓，F1,F2為橢圓的兩個焦點.

探究3的結論 記細繩兩端間連線的長度為2c：當a=c時，細繩拉緊，筆尖(動點)畫出的軌跡是線段F1F2；當a>c>0時，筆尖(動點)畫出的軌跡是橢圓，若c→a，則橢圓越扁平，若c→0，則橢圓越接近于圓.特別地，當c=0時，筆尖(動點)畫出的軌跡是圓；當c>a>0時，細繩將崩斷，這樣的軌跡不存在.

上述探究過程可以借助信息技術的動態演示，增強學生的直觀感知效果，加深對“常數要大于|F1F2|”的理解，進而讓學生歸納出橢圓的定義.

橢圓的定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離之和為常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.

奧蘇伯爾說:影響學生學習新知的最重要因素是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并據此展開教學.由于學生對橢圓的定義找不到“感覺”，因此教師提供適宜學生學習的探究素材是十分必要的，不能進入學生視野的東西就不可能使他們主動學習和探究.

《義務教育數學課程標準(2011)》提出：“數學教學不是把現成的結論教給學生，數學教學是數學活動的教學，要引導學生自己尋求知識產生的起因，探索它與其他事物的聯系，在探索過程中形成概念、尋求規律、獲得結論.”這充分闡明了數學教學要重視學生在學習活動中的主體地位，要讓學生參與知識產生、發展和應用的全過程，要為學生設計有助于促進思維發展的問題，激勵學生更加積極地參與教學活動.

2 橢圓標準方程的建立

橢圓標準方程的推導過程是本節課的核心，需要學生認真推理，從而培養學生縝密的邏輯推理能力.這個過程筆者傾向于讓學生在課堂上即時推導，但也可以作為探究4在課前一并交給學生，然后將結果在課堂上用投影儀進行展示.

探究4 平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于2a(其中2a>|F1F2|)的點的軌跡方程是什么？

思考 類比圓的標準方程，怎樣建立直角坐標系能使橢圓方程更加簡潔？

由于前一課時授課內容為“曲線與方程”，課堂反饋學生普遍了解求曲線軌跡方程的基本步驟：建、設、列、代、化、驗.

圖2

建系 觀察橢圓圖形的對稱性，以F1F2所在直線為x軸、F1F2的中垂線為y軸建立平面直角坐標系(如圖2).

設點 設M(x,y)，F1(-c,0),F2(c,0).

列式 橢圓滿足集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

代入

(1)

化簡 兩個根式放在一起，給學生的恒等變形帶來極大的挑戰，化簡的關鍵在于去根號，學生直覺感知式(1)兩邊直接平方會較繁，為均衡起見，采取移動一個根式到右邊，再兩邊平方去根號.

方法1 移項

兩邊平方整理

(2)

再兩邊平方整理

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

兩邊同除a2(a2-c2),得

類比直線方程的截距式，令b2=a2-c2，得

(x2+c2+y2)2-4c2x2=[2a2-(x2+c2+y2)]2，

展開整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

下同方法1.

方法3 從有理化的角度處理.由式(1)可知

(3)

式(1)+式(3)，得

(4)

式(1)-式(3)，得

(5)

圖3

式(2)與式(5)的本質相同，下同方法1.

驗證 略.

如果學生在課堂上即時推導，建議給學生以充足的時間，靜待花開，常常會有意想不到的收獲.

章建躍博士認為：數學學習的基本任務是學會運算和推理，運算離不開推理，推理在高中乃至整個基礎教育階段的數學學習中的展現形式就是運算，“能推理，會運算”是數學學習中需要養成的基本素質[1].在橢圓標準方程的推導過程中，許多學生面對“復雜”的運算無從下手，需要教師引導他們挖掘信息、走出困境，此時學生收獲的不僅僅是解題技能的提高，更是思維水平的提升和數學學習興趣的激揚.

3 挖掘橢圓標準方程推導過程中隱藏在代數式背后的幾何特征

由于時間有限，青年教師在課堂中均沒有對橢圓標準方程的推導過程作進一步研究，事后詢問執教教師，也沒有對推導過程進行繼續探究的打算.事實上，橢圓標準方程的推導過程是一座豐富的礦藏，其代數式背后蘊藏著重要的幾何特征，具有十分重要的教學價值.

特征1 焦半徑公式.

式(4)和式(5)表示橢圓上點M到左、右焦點的距離，俗稱焦半徑公式

這也可以從式(2)得到.由橢圓標準方程易知，-a≤x≤a，于是

a-c≤|MF1|≤a+c，

當點M位于橢圓長軸上的端點A1處時，

|MF1|min=a-c，

當點M位于橢圓長軸上的端點A2處時，

|MF1|max=a+c.

這與教材第49頁A組第9題涉及的“近日點”“遠日點”兩個概念相互印證.

特征2 橢圓的第二定義.

由焦半徑公式變形得

這與教材第47頁例6相互印證.

評注 為了控制難度，教學時可以不向學生提出橢圓第二定義的概念.

特征3 橢圓上的點(異于長軸上的端點A1,A2和短軸上的端點B1,B2)與橢圓對稱軸端點連線的斜率之積為定值.

即

即

同理可得

這與教材第41頁例3相互印證.

即

亦即

事實上，上述3個幾何特征在教材例題和習題中均有要求，這些關系在橢圓標準方程的推導過程中均可順利得到，它既可以激發學生的學習興趣，也可以培養學生深入思考的良好習慣，何樂而不為？

如果學生能夠對焦點△MF1F2繼續研究，那么還可以得到以下二級結論:

橢圓是高中教學中極其重要的教學內容，把橢圓教好了、教活了，那么接下來學習雙曲線和拋物線就容易多了，學生也有了類比探究的可能和興趣.4 改進橢圓標準方程推導的教材內容的意見和建議

教材不同于學術專著，就在于它不僅要保證科學性，還要考慮使用者的可接受性.為了方便教材從學術形態轉化為教學形態，讓青年教師快速掌握橢圓教學的要領，建議在教材處理時能以“旁白”“想一想”“思考”等多種方式給出較為明確的指向，將例(習)題中隱晦的提示變為顯性的啟發，以幫助更多青年教師快速領悟編者的意圖.

4.1 對橢圓焦半徑公式的處理

建議在教材第39頁橢圓標準方程的推導過程邊上，以“旁白”的方式給出：在橢圓的標準方程的推導過程中，你能用點M的橫坐標x表示點M到兩焦點的距離|MF1|，|MF2|嗎？它們的最大值和最小值是多少？

在這里，是否給出左(右)焦半徑的稱謂，是無關緊要的.

4.2 對橢圓第二定義的處理

如此安排，學生便能夠很自然地知道橢圓第一定義、橢圓第二定義、橢圓的焦半徑之間的內在聯系，并將它們作為一個有機的整體理解和掌握.

4.3 對于橢圓上的點與橢圓對稱軸端點連線的斜率之積為定值的處理

這是例3的自然推廣，既有聯系，也有深度，可以培養學生由特殊到一般、鍥而不舍的探究精神.

4．4 對橢圓焦點三角形的處理

對于與橢圓焦點三角形有關問題的研究，可以在教材第39頁思考1后面，加入思考2：在焦點△MF1F2，記∠F1MF2=θ，你能用θ表示△MF1F2的面積嗎？你還能在焦點△MF1F2中得到哪些結論？

這樣處理的好處是讓學生關注這個特殊的焦點三角形，不足是容易分散學生推導橢圓標準方程的注意力.不妨退一步，在教材第50頁B組練習中增加一個與焦半徑有關的習題，讓學有余力的學生去主動探究.

4.5 余味：橢圓的焦點弦長問題

事實上，θ=90°時的焦點弦AB我們通常稱為橢圓的通徑，這與拋物線的通徑概念是相互統一、前后照應的，這個問題是否也應該以例題或習題的形式予以呈現呢？

當然，與橢圓定義有關的結論還有許多，單靠教材是無法窮盡的，但一些重要的結論要盡可能體現.

數學的本源在教材中，只有深刻地理解教材，才能挖掘教材的精髓.教材中的概念、公式、定理等大多都是以具有較強的抽象性、概括性的“學術形態”呈現出來的.這些知識，有的是學生自我感知就可以掌握的，而有的則是學生自主學習、認知理解困難的，這時候就需要教師認真鉆研教材，吃透教材中的概念、公式、定理等內涵，不僅要在宏觀上理清思路，還要在微觀上推敲細節，合理地利用教材并對其進行適度的“二次開發”，將其轉化為學生易于理解的“教育形態”知識，即生動具體的、暴露實質的“淺顯”知識.在此基礎上，運用恰當的教學方法，留給學生充足的時間和空間，體驗建構知識的過程，幫助學生化解建構知識的難點[2].

[1] 章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J].課程教材教法，2016(7):44-49.

[2] 張林.定理在孕育中生成 題目在遞進中生長[J].中學教研(數學),2016(12):22-25.

?2017-04-25；

2017-05-27

周順鈿(1965-)，男，浙江紹興人，浙江省特級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-32-05