從實驗視角引導學生認知數學抽象

常國良

摘要：本文從親身實踐的角度對抽象的高中數學知識感、悟、學，從基于感性的學習到基于理性的思考，將數學抽象如何形成的過程在課堂教學中層層展現，體現核心素養在一線教學實踐中如何落地。

關鍵詞：核心素養 數學抽象 數學實驗 不等式 圖形計算器

新一輪《普通高中課程標準》于2016年10月遞交了內部討論稿，明確規定了新的課程目標和數學核心素養，其中“數學抽象”位居六大核心素養之首。可以這么說，數學的抽象性是困擾學生數學學習的最大障礙，這與高中數學形式化程度較高有直接關聯。抽象知識怎么學？數學抽象素養怎么培養？只有通過反復解題才能獲得嗎？華師大張奠宙教授站在系統的高度告誡我們：好的教師在于引導學生如何將教材中冰冷的、線性的知識用火熱的思考、親身的實踐來獲得。人民教育出版社章建躍博士也說：數學抽象部分可以借助實驗、信息技術等方式，讓學生獲得更好的形象感知。

一、基于數學性質的研究

中學數學有很多概念和性質，學生對其的理解往往是基于純粹形式化的證明，這種方式有嚴密性，但是感知度不足。數學性質往往有深刻的生活背景或物理形態的載體，性質理解是否深刻，記憶能否牢固，與學生是否親身參與性質的探討有很大的關聯。這里所談及的數學性質是具有重要的意義和地位，并非解題經驗之類，而是影響某一知識層面的數學性質。其具有下列特點：第一，是某一知識層面的核心，具備了多種知識在此處交匯；第二，性質鑲嵌在一定的物理形態的背景中，可以借助實驗獲得抽象；第三，性質的解決涉及到觀察、推理、收集信息、整理信息、分析信息等一系列理解問題、分析問題、解決問題的知識和技能；第四，性質的研究需要注重思維的啟發、抽象能力的培養，實驗手段的使用滿足了這一要求。由此可見，基于實驗手段的數學性質的研究可以成為數學抽象素養培養的一個新方式。

師：用滑動變阻器、燈泡等物理器件搭建一個電路回路。

（每四人為一學習組，搭建電路實景圖，并拉動滑塊進行觀察。）

生1：緩慢拉動滑動變阻器上的滑塊，我發現燈泡的亮度從最明亮到最暗淡，最后又變成最明亮。

師：大家都觀察到類似的實驗現象，那意味著電路中實際電阻值怎樣變化呢？

生2：整個電路回路中實際電阻值的大小變化是：小——大——小。

師：結合物理相關知識思考，這是一個什么電路？如何計算電路中的實際電阻值？

二、基于數學探究的學習

數學探究是新課程標志性的熱門詞語，但是一線教師真正引導學生做數學探究的少之又少，而那些讓學生記憶深刻、培養數學抽象能力的探究幾乎沒有。偽探究我們見了不少，但是真正做探究是如何做呢？首先，教師須要明白什么是探究。美國國家教育科學標準中對探究的定義是：探究是多層次、多方面的活動，包括觀察、提出問題（通過查詢資料發現已知結論，指定調查研究計劃）；用多元的手段收集數據、分析調研數據、提出恰當猜想；對研究初步結果進行交流。在美國國家科學教育標準中，基于教學的探究有下列用法（節選）：第一，基于探究的教學：科學性教學的核心策略是積極思考對于學生真實探究所出現的反饋和問題。第二，基于探究的學習：從學生角度來說，探究的含義也可以是學習過程。美國國家課程教育標準指出，探究包含一種積極的學習過程——“學生去做的事，而不是為他們做好那些事”。用建構主義的話來說，探究要讓學生思考我該怎么做，為什么這么做，甚至是做什么，區別以往被動接受教師要求學生做，甚至是教師制定大量數學性質、結論要求學生記憶。

因此，探究性學習是以科學研究的過程來類似做學習研究，從而在掌握知識的同時，體驗、理解、思索科學研究的方式方法，掌握問題研究一般規律的方式。這種研究對于提高學生數學興趣、培養其數學素養有著重要的作用，也特別可以用感性的研究去理解一些抽象的數學知識。

例2：幾何概型等可能的研究

辨析：這是學生給出的不同的解法。造成不同結果的原因是什么？經過辨析，學生普遍認為第二種解法存在問題，但是錯誤的原因在哪里？數學表象的背后如何闡述抽象錯誤的原因？本題的本意是要求兩直角邊x、y是（0，1）區間內的隨機數，從而點落在正方形區域內任一點處都是等可能的；解法2的同學出于好心將問題進行了簡化運算，其一一對應的變換是令m=x2，n=y2，恰恰在此有可能出現了問題。為了闡述這種變換是否等可能，我們可以利用Excel VBA檢驗。步驟如下：

（1）第一列記為橫坐標x，選中A1格，利用Excel自帶函數Rand，填寫為Rand（0，1），自動產生一個隨機數，按住右下角拖動至A3000，產生3000個隨機數；同理：第二列記為縱坐標，選中B1格，產生3000個隨機數；

（2）第三列記為橫坐標x2，選中C1格，計算“=A1*A1”，按住右下角拖動至A3000，產生3000個隨機數；同理：第四列記為縱坐標y2，選中D1格，計算3000個隨機數；

（3）選中A、B兩列，插入—圖表—散點圖，得到（x，y）均勻分布于圖4；

（4）選中C、D兩列，插入—圖表—散點圖，得到（x2，y2）非均勻分布于圖5。

思考：實驗探究表明，一一對應變換并不能保證變量的等可能性。其實從函數角度也非常好理解，非線性函數的自變量與函數值并不是等價變化的，統計學中線性相關說的正是這個道理。以信息輔助為手段，將變量間抽象的轉換關系以具體的散點圖展示出來，深刻理解了線性相關下幾何概型的等可能具備傳遞性，而非線性變換由于變換曲率的不同，自然無法達到隨心所欲的變換。實驗教學將這種變換間的數學抽象表露無遺，促進了學生的思考和理解，增加了學習的興趣。

三、基于碎片化時間的技術

隨著網絡的不斷發展，現代教學中微視頻教學、云端微資源的利用、微型化app的使用都不斷滲透到教學中。以微視頻、微博等典型的“微元素”方式促進了“微時代”的迅速發展，“微”已經置身于生活各個領域，從教學角度來說，微課程、微視頻、微課、微系統等等，占領了教學的碎片化時間，大大提高了學習的效率、開拓了教學的資源。

高中數學教學可以利用碎片化時間，結合現代信息技術，在短時內進行一定的數學問題實踐，在微型設備（如手機、平板、圖形計算器等）等利用相關app進行數學實踐或實驗，從技術的手段思考數學問題的抽象性。筆者常常以HP公司的圖形計算器為技術工具（或者圖形計算器的app），在碎片化時間內尋求數學抽象素養的培養。

例3：復合函數單調性的研究

復合函數單調性的研究是一個難點，日常教學中更多是依賴形式化分析、理論證明，學生對于復合函數的直觀感受比較缺失，我們可以借助現代信息技術，選擇函數模型，利用圖形計算器實驗、對比、分析，獲得更多的感性認知，進而思考復合函數單調性的變換。

（1）打開圖形計算器界面，選擇APP“函數”；

（2）在編輯函數界面，選擇基本初等函數（即需要復合的函數）（圖6）；

（3）選擇相應的基本初等函數進行復合（圖7）思索初等函數圖象以及復合函數圖象變化，作圖、歸納結論，并可以利用單調性定義對其進行理論性論證。

思考：對于一些一開始無法直觀判斷的復合函數單調性，可以通過多次實驗觀察，結合數學論證培養學生的復合函數單調性的抽象思維。在此教師也可以僅僅提供一個問題，讓學生主動去探索問題，培養學生將自己面對的問題歸類、數學實驗并驗證的習慣，也可以更進一步讓學生通過技術手段主動復合不同的函數，提供多元的思考方向，為后續理論論證提供感性支撐。

參考文獻

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【責任編輯 郭振玲】