一道數學例題教學的有效探究

陳德會

摘要：本文通過教學實例和分析，概括總結了在數學課堂中的教學設計：創設情境，激發學生探究興趣；動手探索，引導學生深入探究；合作交流，促進學生優勢互補；反思小結，提煉學生數學思想；課外延伸，深化學生探究。

關鍵詞：有效性；探究性學習；教學設計；數學思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0111

所謂數學探究性學習，是指“學生在數學領域或現實生活的情境中，通過發現問題、調查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態度的學習方式和學習過程。”如何在初中數學教學中引導學生進行探究性學習？如何落實新課程理念下的教學目標？本文試圖通過課堂實例，呈現與探究性學習理論相結合的探究性學習的課堂教學設計。

（課本例題）已知：如圖（1），A是⊙0外一點，AO的延長線交⊙O于點C，點B在圓上，且AB=BC，∠A=30°。

求證：直線AB是⊙O的切線。

通過學習本節課的教學內容，學生初步掌握了直線與圓相切的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。讓學生清楚，要證明一條直線是圓的切線，當這條直線與圓有公共點時，作過公共點的半徑是常用的輔助線。

改編：如圖（2），CD是⊙O的直徑，點A在CD的延長線上，OD=DA，點B在⊙O上，∠ACB=30°，求證：AB是⊙O的切線。

在幾何教學中，教師適時、適當地將例題變形轉化，將例題的潛在功能挖掘出來，不僅可以培養學生舉一反三、觸類旁通的解題能力，還能有效地訓練學生思維的靈活性和深刻性，促進學生掌握科學的探究方法。本題是課本例題改編而來的，學生剛開始接觸可能會感到有點困難。如何激發學生的探究欲望，讓他們自己來參與數學發現呢？為此，筆者進行以下的教學設計：

一、創設情境，激發探究興趣

學生將本例題與課本原例題進行對比后，引導學生關注其中的關聯。并提問：

（1）看到直徑，你能聯想到什么？（直徑所對的圓周角是直角）

（2）連接BC，OC，你能得到哪些相等的線段？

（3）當∠OCD=90°，就能得到結論嗎？

在這里，筆者改編了例題的部分條件，利用課件演示，激起學生疑問：幾何問題真是太復雜了，稍改一點，就得好好思考如何證明呢？學生這時處于一種復雜的心理狀態，一方面學生非常想解決這個問題，很想說出為什么，另一方面又無法立即解決，因為認知水平不夠，這種心理不平衡性激發了學生探究問題的興趣和熱情，從而產生了強烈的求知欲。

二、動手探索，引導深入探究

探究一：引導學生觀察分析圖形，解決問題并引申結論

如圖（3），已知弦AB與半徑相等，連接OB，并延長使BC=OB。

（1）問AC與⊙O有什么關系，并證明你的結論。

（2）請你在⊙O上找出一點D，使AD=AC。（自己完成作圖，并證明你的結論）

探究二：如圖（4），⊙O的直徑AB=6cm，P是AB的延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC。

（1）若∠CPA=30°，求PC的長；

（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA平分線交AC于點M，你認為∠CMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由：若不變，求出∠CMP的值。

教師引導學生審題，提出本題的考點：切線的性質；三角形內角和定理；切割線定理。

該教學過程設計結合了新課程標準中的探究性學習理論，涉及了變更問題、類比聯想、嘗試猜想、總結歸納等教學環節，從學生的“最近發展區”入手，為學生構建探究平臺，鼓勵學生自主動手、動腦實踐，引導學生由淺入深，從特殊到一般進行探索歸納，有效拓展了學生思維發展空間，還培養了學生鍥而不舍的學習精神和提高了學生的綜合素質。

三、合作交流，促進優勢互補

1. 以四人為小組，進行組內合作，充分發表己見，形成小組集體意見

學生通過自己個人的分析、探究，獲得了個人關于本例問題的見解后，然后與組內的其他同學討論。這一階段為每個學生提供了發表自己的看法、認識、見解的機會。主要目的在于挖掘群體的潛能，培養合作的精神。選出一位同學當組長負責協調關系、記錄討論內容。討論中要求小組每個成員都要發表自己的看法，供大家討論、批評、切磋、補充，具體的做法不拘一格。為了使討論充滿活力，更好地激發小組成員的創造性思維，可以允許意見、見解有沖突、紛爭，無須非達成共識不可。在這一階段，強調學生的合作精神，通過合作，拓寬學生的思維廣度、空間。

2. 進行組際交流，交流驗證方法等

教師總結學生的意見：（1）連接OC，根據切線的性質可知OC⊥PC，則△OPC為直角三角形，OC=3，可根據銳角三角函數的定義求出PC的值；（2）從PM是∠APC的角平分線可知∠CPM=∠MPA，根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理即可求出∠CMP=∠A+∠MPA=45度。因為∠A與∠CPA為定值，故∠CMP的大小不發生變化.

解：（1）連接OC，PC是⊙O的切線，∴∠OCP=90°；∵∠CPA=30°，OC=■ =3，∴tan30°=■，即PC=3■；（5分）

（2）∠CMP的大小不發生變化；（2分）∵PM是∠CPA的平分線，∴∠CPM=∠MPA，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO；在△APC中，∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°，∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°；（5分）即∠CMP的大小不發生變化，為45°。

這里，教師留給學生足夠的時間，教師提出的幾個由淺人深的問題引起學生深入的思考，并且能促使學生“發現問題，作出思考，提出猜想，進行歸納”等探究性的學習活動，并教給學生探究性學習的方法。這樣設計探究學習活動，是為了更有利于學生主體性的發揮。

四、反思小結，提煉數學思想

當代荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學活動的核心和動力。”在探究學習中，學生通過自己的艱苦探索，探究出豐富多彩但有些雜亂無章的結果。例如上面的探究二：此題需要學生通過嘗試，提出猜想、驗證猜想、總結規律.既考查基本的數學知識與方法，又注重從特殊到一般的數學歸納能力的要求，突出了學生對圖形的探究及探索出有效的解法策略。在探究過程中，學生出現了以下的常見錯誤：1. 利用三角函數解直角三角形時，三角函數與邊不對應，或三角函數值記錯；2. 關于∠CMP的定值問題錯誤的兩種觀點：（1）認為∠CMP大小不變者，用第（1）小題的特殊值（∠A=30°）進行論證；（2）認為∠CMP大小變化者，把∠A看成是不變的角（30°），∠CMP=∠A+∠CMP=30°+∠CMP等。這些結果雖然凝結了學生探究的辛苦，但卻有對有錯，因此，在探究學習過程中，教師應及時引導學生進行反思與小結。對于正確的、合乎邏輯的結果予以充分的肯定，并及時提煉上升到數學思想的高度，要讓學生始終對自己充滿信心，引導學生反思。為此，筆者和學生一起從以下幾個方面進行總結：

（1）在問題的解決過程中，我們是怎樣入手的？我們為什么要從這里入手？

（2）在證明過程中我們主要運用了哪些方法？

（3）本題可以概括出怎樣的一般性的結論？

（4）在探究中運用了哪些數學思想方法？

五、課外延伸，深化學生探究

圓中“陰影部分”的面積的求解是歷年各地中考的一個必須掌握的知識點，求解時既可以根據圖形的特點，將其分解轉化為扇形、弓形、三角形、平行四邊形、梯形等圖形的組合來求解，也可根據其特點，靈活巧妙地運用一些方法技巧，可使問題化繁為簡，化難為易，收到事半功倍的奇效，現舉例說明。

探究三：如圖（6）在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的OO交BC于點M，MN⊥AC，若∠BAC=120°，AB=2，①求證MN是OO的切線；②求圖中陰影部分的面積。

分析：一個圖形的面積不易或難以求出時，可以利用全部減其余，便可以使原來不規則的圖形轉化為規則圖形。

思路：S陰影部分=S梯形AOMN-S扇形AOM

學生經過自己的主動探索、實驗，發現了重要的結論，這是對學生主動參與精神的激勵，能使學生體驗到主動探究成功后的喜悅，增強學生學習的動力和信心。經過組內和組際的交流，能使學生各自得到不同的收獲，同時能使學生感悟到“面對新問題，聯想舊知識，尋找新舊知識之間的關系，揭示知識規律，獲取新知”的探究方法和策略，使他們更自覺更主動地投入到探究性學習活動中。

學生探究性學習活動能否順利實施，關鍵在于教師能否創造適宜的教學情境和進行合理的引導。在新課程實施過程中，教師要運用一切可能的手段，不斷優化教學設計，激發學生的學習興趣，創設有效的探究時間和空間，形成良好的探究風氣，讓每個學生都有主動探究的機會和欲望，從而真正實現“不同的人在數學上得到不同的發展”。

（作者單位：浙江省蒼南縣錢庫鎮第一中學 325800）