將數學建模融入高職經濟數學中的教學案例

賀靖

摘要：本文簡要介紹了在經濟學實際問題中數學建模問題，提出了可以將數學建模融入到高職經濟數學教學中去，并給出了三個教學案例。通過教學案例，給出了數學建模的全過程：模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、結果分析。而且應在經濟數學教學中引入數學建模的內容，和實際應用問題聯系起來。

Abstract： This paper briefly introduces the problems of mathematical modeling in the practical problems of economics， puts forward that the mathematical model can be applied to the teaching of Economic Mathematics in higher vocational education and carries out three teaching cases. Through the teaching case， this paper gives the whole process of mathematical modeling： model preparation， model assumption， model establishment， model solution and result analysis. Moreover， the content of mathematical modeling should be introduced into the teaching of economic mathematics and it should be combined with the practical application.

關鍵詞：經濟數學；數學建模；數學教學

Key words： economic mathematics；mathematical modeling；mathematical education

中圖分類號：O141.4；G712 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）13-0207-02

0 引言

經濟數學是高職院校財經類專業設置的核心課程之一，是經管類各專業的一門重要基礎課，而使數學建模的知識融入到高職經濟數學這門基礎課程教學中，以更好地為高素質、高技能型人才培養目標服務，一直是高職院校數學教學改革的難點。

數學建模是通過調查研究、了解信息、簡化假設、抽象分析、運用數學的符號和程序，以此建立數學模型，以求解模型得到結果并解決實際問題，最后實際檢驗結論是否正確的全過程。目前數學建模課程的教學實驗雖取得了一些成效，但也存在著不足。究其原因，其一數學建模主要針對本科教學而高職類較少，特別是經濟數學建模教學和輔導的教材缺乏；其二重理論教學而輕實踐應用，很難得到有實際應用的數學模型，缺乏所研究問題的知識和背景；其三沒有明確的數學建模教學方法的指導。所以，要推動高職院校數學建模教學活動的有效開展，必須進一步對數學建模在高職院校教學中的作用進行探索與研究。

最近幾年數學建模的競賽活動在全國高職院校蓬勃開展，廣州大學市政技術學院積極探索將數學建模的內容融入數學或專業教學之中。下面作者結合自身的教學經驗，給出三個把數學建模融入高職經濟數學教學的案例。

1 交通網絡流量分析問題

1.1 模型準備 廣東某城市單行線的交通流量如下圖所示，以每小時通過的汽車數量來度量，數字則表示該路段每小時按箭頭方向通過的車流量（單位：輛）。

①建立各條道路上車流量的線性方程組；

②若確定唯一未知流量，還需要增加哪些條道路上的車流量；

③當x5=350時，確定x1，x2，x3，x4的值。

1.2 模型假設 第一，每條道路都是單行線；第二，每個交叉路口車輛進出數量相等。

1.3 模型建立 依據圖1和網絡流量模型的基本假設，在四個交叉路口處進出車輛數量，我們可以得到下列方程：

A：x1+20=30+x2；B：x2+30=x3+x4；

C：x4=40+x5；D：x5+50=10+x1；

1.4 模型求解 根據該網絡的總流入量（200+300+500）等于網絡的總流出量（300+x3+400+100），化簡得x3=200，把這個方程與整理后的前4個方程聯立，得如下方程組：

1.5 結果分析

若確定唯一未知流量，只要增加x5統計的值即可。當x5=350時，確定x1=350，x2=350，x4=350。網絡分支中的負流量表示與模型中指定的方向相反，由于街道是單行線，因此變量不能取負值，這也導致變量在取正值時有一定的局限。

2 黃牛出售的問題

2.1 模型準備 養殖場預計每天投入資金為10元，用于購買飼料、設備以及工人工資，估計將使當前200公斤重的黃牛每天增長2公斤。目前的市場價格為每公斤20元，但是預計每天將會降低0.1元，問黃牛應該在何時出售。如果估計和預測有誤差，對結果影響如何。

2.2 模型假設 資金投入使黃牛體重隨時間同步增長，出售單價隨時間同步減少，所以若使利潤最大定存在最佳的出售時機。

2.3 模型建立 根據題意，令黃牛的增長速度為r=2，收購價格降低速度為g=0.1。

①若當前出售，利潤為200×20=4000（元）

②若t天后出售，黃牛體重w=200+rt，銷售收入R=pw，出售價格p=20-gt，資金投入C=8t

若黃牛的價格每天降低量r增加1%，出售時間提前3%。

3 商品的最優價格問題

3.1 模型準備 設廣東某手機廠商生產一臺手機的成本是c，而每臺手機的銷售價格是p，銷售量是x。若該廠商的生產處于均衡狀態，即手機的生產量等于銷售量。按照市場預測分析，銷售量x與銷售價格p之間的關系為：x=Me-ap（M>0，a>0）。其中市場最大需求量為M，價格系數為a。

而生產部門對生產環節的進行分析后，對每臺手機的生產成本c計算如下：c=c0-klnx（k>0，x>1）。其中規模系數為k，只生產一臺手機的成本為c0。據上所述，該廠商若要獲得最大利潤，應如何確定手機的銷售價格p。

3.2 模型假設 在商品的生產和銷售過程中，手機的銷售量、生產成本與銷售價格是相互影響的。所以廠商只有選擇合適的銷售價格即最優價格，才能獲得最大的利潤。

3.3 模型建立 假設手機廠家獲得的利潤為U，每臺手機的生產成本為c，銷售價格為p，銷售量為x，則利潤函數為U=（p-c）x，問題變為在約束條件g（x，p）=0和h（c，p）=0中求解該利潤函數的最大值。

3.4 模型求解

為了更好地使數學建模進入高職經濟數學的教學中，我們在平時的教學中，需要把數學教學和數學建模有機地結合起來，在教學中適時適當滲透數學建模思想，這樣可以提高學生的各方面能力，有助于他們更好地學習專業課，更有利于今后時代對人才的需要。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].六版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]崔海英，侯文宇，李林彬.把數學建模融入高等數學教學中的兩個案例[J].北京聯合大學學報（自然科學版），2010（3）.

[3]齊松茹，鄭紅.引入數學建模內容促進高職數學教學改革[J].中國高教研究，2011（12）.

[4]朱長青.將數學建模引入高等數學教學中的典型案例[J].價值工程，2014（3）.