淺談農村九年義務教育初中數學三角函數的實際應用

涂昌因

【摘要】三角函數作為初中數學學科中最重要的一部分內容，對學生思維認知水平的提高起著重要的作用。在初中數學中，三角函數是教學中最難攻克的環節，也是為后期學習打下基礎的主要環節。三角函數是數學中比較抽象并難以理解的內容，初中生容易在學習三角函數的過程中因為過于困難而放棄學習，致使后面的學習嚴重跟不上教學進度。本文從三角函數數形結合解題舉例、農村九年義務教育初中數學三角函數的實際應用與三角函數簡化公式出發，對課題進行闡述。望能為相關教學工作帶來實質性的建議。

【關鍵詞】義務教育；初中數學；三角函數應用

在初中課程中，三角函數是重中之重，有效把握三角函數圖像與性質是處理數學問題的關鍵所在。在學習三角函數的過程中，有諸多學生仍對圖形解題不能深刻的理解與掌握，這就需要數學教師們更為全面的考慮學生的情況，因材施教。數學教學中最主要就是利用數形結合的方式來解決圖形問題，而三角函數這一章內容又需要大量使用數形結合。

一、三角函數數形結合應用理念

數形結合是數學教學中的一條重要接入點，數形結合的思想促使數學在實踐中的應用范圍寬廣，利用抽象的數學概念與數量關系直觀具體的展示出圖形想要表達的意思。具體的圖形轉換為代數也更有助于定量分析，從而也證實了數學的嚴謹性。數與形的結合、靈活的轉換，不單可以拓展教學研究的思路，還能讓一些看似困難的題目變得清晰，從解題的過程中還能發現解題的新技巧，從中找到可能忽視的條件。數與形是互相矛盾的存在，但同時又是辯證統一的。數形結合是數學中一種重要思想，在初中函數解題中是主要解決辦法。我們可以參考歷年中考試卷，幾乎可以發展在很多三角函數題中，數形結合應用十分寬泛，在很多時候都可以使用函數圖形對題目加以分析，從而降低題目難度[1]。有效使用數形結合解決問題，能讓抽象的事物變得更為具體，讓解題事半功倍。

數形結合一直以來是數學研究中的重要思路與方式，我們通過數形結合的方式可以將一些較為抽象的數學語言用一種直觀的表達形式表現出來，以達到讓抽象思維與具體思維相結合，讓解題變得更為簡便。初中三角函數教學中，數形結合可以作為一種輔助手段來幫助教師與學生解決問題。

二、農村九年義務教育初中數學三角函數的實際應用

（一）用三角函數圖形解方程

數形結合在初中三角函數解題中的應用表現在兩個方面：定性分析與定量分析，這兩種情況都可以利用數形結合的方式來輔助解題步驟。下面就舉出一個題目來詮釋數形結合在解題中的應用。

例題：已知方程|X2_4X+3|=m，試分析在不同m取值情況下，方程根的個數[2]。

解題分析：這樣的題目，如果不借助函數圖形的話，就需要針對函數f（x）=|X2_4X+3|進行X不同取值下，f（x）對應函數值的討論，要分很多情況，討論復雜容易出錯。由圖1函數圖形我們可以看出，方程的根是直線y=m與函數f（x）=|X2_4X+3|圖形的交點。不同m取值就對應方程根的不同個數，畫出圖形之后，將y=m進行上下平移，可以看出，在m<0時，二者沒有交點，m=0時，二者有4個交點，在m=1時二者有3個交點，在m>1時，二者沒有交點，這樣就很容易借助圖形來得到題目的正確答案。

從中可以發現，一些函數的題目在使用數形結合方式之后，就變得簡單許多。比方說這道題，通過方程與函數的圖形結合轉換，就獲得了新的解決思路，從而能夠使題目得到快速的解決。

（二）用三角函數證邊（角）之等、和、差關系

如圖2，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD與點E，∠1=∠2。（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證AM=DF+ME。

解析：（1）在菱形ABCD中由∠1=∠ACD=∠2得CM=DM。又ME⊥CD得BC=CD=2CE=2；（2）記菱形ABCD邊長為a，由（1）可得，從而，又在中， ，故AM=DF+ME 。

在平面幾何的證明中，最讓學生感到不解的是如何添加輔助線。本體欲證明線段AM之長等于另兩線段DF與ME之和，通常采用截長補短的方法，因題中條件有F為邊BC的中點，所以通過中點倍長法，即可通過延長DF交AB的延長線于G證明即可。這種方法具有一定的解題技巧，如果利用銳角三角函數，用參數表示圖形中的各條線段，能夠確定線段之間的關系，精簡明了。

（三）用三角函數求圖形面積

如圖3，點D是△ABC邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不于點B重合），以BD、BF為領邊作平行四邊形BDEF，又AP（）BE（點P、E在直線AB的同側），如果，那么△PBC的面積與 的面積之比為0。

解析：連接EP，可得E、F、P三點共線，由條件設AB=EP=4a，BD=EF=a，則PF=3a，過點A、P分別作AM⊥BC，PN⊥BC （見圖4），垂足M、N記∠ABC=∠PFC=a，則 AM=4asina，從而△ PBC的面積與△ABC面積之比為，故正確答案為D。

在初中階段，有關三角形的面積問題，一般分為兩類，一種是類似三角形的面積比等于相似比的平方，第二種是同底（或等高）的三角形面積比等于高（或底）之比。本題所求問題是同底的兩三角形面積之比，重點是要計算它們的高之比。本題求得E、F、P三點共線后，發現AB與FP之間不僅存在著位置關系，而且存在著數量關系，從而選擇三角函數表示。

三、三角函數的簡化公式

在三角函數的學習過程中，簡化公式是一大難點。無論是從教材還是教師口中都曾提及一個理念：奇變偶不變，符號看象限，但初中生對此的理解卻十分有限。因此，在此提出一種情況對三角函數的簡化公式進行理解[3]。

形如180°+α（或π+α）簡化為α型。如圖5所示，需要簡化的角為180°+α，可由角α逆時針旋轉180°得到。

由圖中可知，旋轉后的角在第三象限，且三角形A0X1與三角形A'0（-Y1）為全等三角形，所以 的坐標為（-X1，-Y1）。由任意角的三角函數值可得：

四、結語

綜上所述，我們可以發現三角函數具有很高的綜合性以及靈活性，能促使學生更加便捷的使用。初中數學中的三角函數是數形結合的完美體現，學生很容易在數形結合的引導下，順利的解決問題，讓學生將具體思維與抽象思維向結合，進一步拓展學生的空間想象力。

參考文獻

[1]朱文英. 三角函數在建筑力學中的應用與反思——以《三角函數的應用》一課為例[J]. 黑龍江科技信息，2016，21：22-23.

[2]林義祿. 淺談中職數學與初中數學教學的銜接措施[J]. 科技信息，2011，15：311+301.

[3]吳舒靜. 初中數學數形結合教學策略分析[J]. 赤子（上中旬），2015，22：278.