高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的探索與實踐

摘 要

法國偉大的數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854～1912）曾說：“如果我們想要預(yù)測數(shù)學(xué)的未來，那么適當?shù)耐緩绞茄芯窟@們學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”。英國數(shù)學(xué)史家J.Fauvel曾總結(jié)出數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教學(xué)的約20條作用，其中有：增加學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、使數(shù)學(xué)不那么可怕、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀等等。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；高中數(shù)學(xué)；探索

全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》指出：“教學(xué)要注意闡明數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，使學(xué)生了解我國和世界各國的古今數(shù)學(xué)成就，以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)、社會生產(chǎn)和日常生活中的廣泛應(yīng)用。”新的《數(shù)學(xué)課程標準》又增加了有關(guān)數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容，并指出要“了解數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些重要事件和數(shù)學(xué)家的重要貢獻，認識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律及其與社會發(fā)展的相互作用。”

由此可見，讓數(shù)學(xué)史教學(xué)真正走進數(shù)學(xué)課堂，是我們數(shù)學(xué)教師現(xiàn)階段要做的一件重要的事情。在日常的教學(xué)實踐中，我有意識地把數(shù)學(xué)史融入到課堂教學(xué)中，作出一些探索，下面是我教學(xué)中的一些體會，作為引玉之磚，供同行們思考。

1 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生認識數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué)美。

對大多數(shù)高中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)就是抽象、枯燥、乏味、無用的代名詞，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的僅僅是為了在高考中拿到一個好分數(shù)。至于數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)發(fā)展的動力源泉是什么？高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正意義何在？這些問題大都不被學(xué)生正確了解，而從數(shù)學(xué)史中卻可以找到這些問題的答案。

在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時，有許多學(xué)生很難理解這種數(shù)域的擴張，不能很好地接受這一新概念。我先與學(xué)生共同回顧了數(shù)從自然數(shù)到負數(shù)和零，再到分數(shù)、無理數(shù)和實數(shù)的發(fā)展史。然后指出為了解決x2=-1在實數(shù)集內(nèi)無解的問題，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹諾引進了“虛構(gòu)數(shù)”的概念，后來法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》首次給出 “虛數(shù)”這個術(shù)語。我在上課時，順便給出了歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，而被公認的數(shù)學(xué)中最優(yōu)美的式子：1+eiθ=0，就是歐拉公式在θ=π時的特例。它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式，我們只能看它而不能理解它”。學(xué)生們在“意料之外”與“震驚之中”，體驗到了數(shù)學(xué)之美。我們的教學(xué)直接面對學(xué)生，那么就是要最大限度地挖掘?qū)W生的潛能，融氛圍美、數(shù)學(xué)美、探索美于數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是一種苦役、一種負擔，而是一種需要、一種享受。

2 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

課堂教學(xué)中穿插一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，可以激發(fā)起學(xué)生的好奇心，使學(xué)生更好地領(lǐng)會所學(xué)的知識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。如在講無窮遞縮等比數(shù)列的和時，我從“芝諾悖論”講起：“芝諾曾經(jīng)認為：古希臘的英雄阿基里斯與龜賽跑，將永遠追不上烏龜！”這時學(xué)生感到不可思議，然后再進一步展開駁倒這個悖論。芝諾的理由是：假定阿基里斯現(xiàn)在 A處，烏龜現(xiàn)在 T 處。為了趕上烏龜，阿基里斯必須先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點 T 處，當他到達 T 點時，龜已前進 T1點；當他到達 T1點時，烏龜又已前進到 T2點，如此等等。阿基里斯是永遠追不上烏龜?shù)模∵@時用具體的數(shù)據(jù)進一步駁倒這個悖論。設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖叮斣谇懊?100 米。當阿基里斯跑了 100 米時，龜已前進的 10 米；當阿基里斯再追 10 米時，龜又前進了 1 米；阿再追 1 米；龜又前進了 1/10米，…。于是阿基里斯追上烏龜所跑的路程S=100+10+1+…，事 實 上 這 是 一 個 無 窮 遞 縮 等 比 數(shù) 列的和。可見，形式上是永遠進行下去，實際上是限制了阿基里斯的路程，一旦超過這個限制，阿基里斯就超過烏龜。這樣學(xué)生留下了深刻的印象，又提高了教學(xué)效率，更進一步地是：使學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大興趣，潤物細無聲的使學(xué)生心理更健康、更自信，充滿著無窮的活力。

在歷史上大概沒有比“對數(shù)”的發(fā)現(xiàn)，更能使人意識到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的意義和對人類文明的貢獻。在講對數(shù)概念時，我介紹了對數(shù)的發(fā)明者蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰 · 奈皮爾（John Napier，1550～1617）編制對數(shù)表的歷程：今天，我們用電子計算機可以很容易求對數(shù)，而在我讀書的時代，是通過對數(shù)表來查的。公元 1594 年，納皮爾開始精心編制可供實用的對數(shù)表，公元1614年，奈皮爾發(fā)表了《關(guān)于奇妙的對數(shù)法則的說明》一書，書中論述了對數(shù)的性質(zhì)，給出了有關(guān)對數(shù)表的使用規(guī)則和實例。奈皮爾終于用自己20年的計算，換來了人世間無數(shù)壽命的延續(xù)！法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說得好：“如果一個人的生命是拿他一生中的工作多少來衡量，那么對數(shù)的發(fā)明，等于延長了人類的壽命！”后經(jīng)別人更加完善，解決了星體的軌道計算，船只的位置確定，大地的形貌測繪，船舶的結(jié)構(gòu)設(shè)計等一系列課題。在教學(xué)中引用這樣的例子，能使學(xué)生深深感受到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要，激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛，更激起了學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造欲.

3 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法

從新課改的要求來看，教師不應(yīng)該僅僅是知識的傳授者，更應(yīng)該是引領(lǐng)學(xué)生掌握科學(xué)學(xué)習(xí)方法的引路人。“授人以魚，不如授人以漁”。在數(shù)學(xué)史上，有不少富于真知灼見，善于思考的數(shù)學(xué)家，他們在研究問題時，都采取了獨到、奇妙而又具有廣泛意義的方法。在講授有關(guān)數(shù)學(xué)知識時，聯(lián)系教材適當?shù)匕堰@些思想方法展示給學(xué)生，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)造性思維過程，有助于學(xué)生深刻地理解教材，領(lǐng)會教材的實質(zhì)，體會數(shù)學(xué)創(chuàng)造的歷程，不失時機地掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從而可以增強學(xué)生駕馭教材的能力。這一點也是戰(zhàn)勝題海戰(zhàn)術(shù)的有力武器，現(xiàn)在的學(xué)生只知道做題，而對題的深層結(jié)構(gòu)和思想實質(zhì)不做思考，當他們面對一個全新的問題時便往往束手無策，而學(xué)習(xí)前人在面對未知領(lǐng)域所用的思想方法，對我們解決問題很有裨益。

比如，解析幾何巧妙地將幾何與代數(shù)結(jié)合在一起，是數(shù)形結(jié)合很好的一個范例。我在教學(xué)中向?qū)W生介紹了1637年解析幾何的奠基人笛卡兒在《幾何學(xué)》中引入了坐標，并用代數(shù)方法、坐標方法更換了古代方法，解決幾何作圖問題。從而讓學(xué)生認識到解析幾何的精髓是：引進坐標，用代數(shù)方法表示曲線，然后通過對方程的討論給出曲線的性質(zhì)。它用運動的觀點把曲線看成為點的運動軌跡，建立了點與實數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系，把“形”（包括點、線、面）和“數(shù)”（包括數(shù)、式、方程及函數(shù)）兩個對立的對象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系。它以坐標的研究為基礎(chǔ)、以代數(shù)方程研究為前提、以圓錐曲線的定性研究為依據(jù)，揭示各知識內(nèi)在的辯證關(guān)系。在圓錐曲線的后續(xù)教學(xué)中，我始終抓住這條主線，反復(fù)強化“用代數(shù)方法研究幾何問題”的思想，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)教材的同時，用聯(lián)系、變化、發(fā)展的觀念思考問題的習(xí)慣也得到了培養(yǎng)。

4 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能培養(yǎng)學(xué)生不畏艱難，不懈追求真理的精神。

課本中的字斟句酌，未能表現(xiàn)創(chuàng)作過程中的斗爭、挫折、以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，學(xué)生一旦認識到這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強學(xué)習(xí)的勇氣.因為看到數(shù)學(xué)家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進，如何一點一滴地得到他們的成果。這樣對于自己在學(xué)習(xí)中遇到的挫折就不會感到頹喪。

18世紀數(shù)學(xué)界的靈魂人物歐拉（Leonhard Euler ，1707～1783），他在年近花甲時雙目失明。不久，除了其本人和一些手稿幸免于難外，他的住所和財產(chǎn)全都在一場大火后蕩然無存。盡管遭受一系列的不幸和沉重打擊，歐拉的科學(xué)活動絲毫沒有減少，歐拉用其罕見的記憶力和心算能力進行高等數(shù)學(xué)運算。歐拉在完全失明前，在還能朦朧地看到一些東西的最后時刻，還在一塊大黑板上寫下他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容。在失明后的17年里，歐拉還解決了許多數(shù)學(xué)問題，他的論文多而且長，以致在他去世之后的10年內(nèi)，他的論文仍在科學(xué)院的院刊上持續(xù)發(fā)表。19世紀偉大數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777～1855）曾說：“研究歐拉的著作永遠是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——集合論的創(chuàng)建者德國數(shù)學(xué)家康托爾（Georg Cantor，1845～1918），最初曾受到猛烈攻擊，以至于巨大的精神壓力摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進精神病醫(yī)院；優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家哈密頓（Hamilton，1805～1865）曾為“四色問題”冥思苦想 13年而不得其果，一百年后美國的兩位數(shù)學(xué)家在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動了世界。數(shù)學(xué)家們在困難、挫折、誹謗面前依然充滿勇氣，充滿創(chuàng)造，披荊斬棘，克服種種困難，推動數(shù)學(xué)的車輪滾滾向前。他們崇高的理想、頑強的意志以及在追求真理的過程中所表現(xiàn)出的嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和獻身精神正是教育學(xué)生最好的范例。

5 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，能增強學(xué)生的民族自豪感。

《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“了解我國國情、社會主義建設(shè)成就以及數(shù)學(xué)史料……進一步提高愛國主義熱情和民族自尊心、自信心，增強社會責任感和使命感”。結(jié)合教材向?qū)W生介紹古今中國在數(shù)學(xué)方面取得的偉大成就，必將振奮學(xué)生的民族精神，喚起他們的愛國情懷。

講等差數(shù)列這一章內(nèi)容時，我向?qū)W生介紹我國古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》和《周髀算經(jīng)》中許多涉及等差數(shù)列的記載，都處于當時世界領(lǐng)先地位。在教極限時，指出我國有關(guān)這一內(nèi)容的研究的最早著作是西漢時期劉徽的著作《九章算術(shù)注》。講授二項式定理時，除了教材中已出現(xiàn)了“楊輝三角”，我還向?qū)W生介紹在這方面我國作出成就最早的北宋著名數(shù)學(xué)家賈憲以及他所撰寫的《皇帝九章算法細草》。這些數(shù)學(xué)史知識都能讓學(xué)生充分意識到：中國古代數(shù)學(xué)是璀璨奪目的中國古代文化的重要組成部分，是世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的重要篇章。

除了中國古代數(shù)學(xué)的光輝成就外，解放以后中國的數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域也取得了舉世矚目的成績。2000年2月19日，82歲的吳文俊從國家主席江澤民手中接過國家最高科學(xué)技術(shù)獎證書，我及時利用這個新聞，向?qū)W生介紹了吳文俊教授的事跡：1977年，吳文俊關(guān)于平面幾何定理的機械化證明首次取得成功，從此，完全由中國人開拓的一條數(shù)學(xué)道路鋪展在世人面前。 數(shù)十年間，吳文俊不僅建立了“吳公式”、“吳示性類”、“吳示嵌類”、“吳方法”、“吳中心”，更形成了“吳學(xué)派”。近代數(shù)學(xué)史上第一次由中國人開創(chuàng)的這一新領(lǐng)域，吸引了各國的眾多數(shù)學(xué)家前來學(xué)習(xí)。因為“手工計算上千項的證明要幾天功夫，用計算機1秒鐘就可以完成。” 諾貝爾獎沒有設(shè)數(shù)學(xué)獎，人們通常把“菲爾茲獎”譽為數(shù)學(xué)中的諾貝爾獎。吳文俊的工作被5位菲爾茲獎獲得者引用，有3位的獲獎工作還使用了吳文俊的方法。一直到最近兩年，仍有菲爾茲獎得主在引用吳文俊的經(jīng)典結(jié)果。當學(xué)生了解了這一切后，他們的民族自豪感油然而生。

以上所述是本人運用在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的一些探索與實踐。但畢竟高中數(shù)學(xué)教學(xué)不只是數(shù)學(xué)史的教學(xué)，不能矯枉過正。所以在滲透數(shù)學(xué)史時還應(yīng)注意以下問題：

（1）數(shù)學(xué)史的滲透決不是內(nèi)容的簡單堆砌或拼湊，越多越好。更應(yīng)注意相互間的聯(lián)系，有選擇地運用，要恰到好處，不求系統(tǒng)，以免喧賓奪主。

（2）介紹時要注意時間、地點、事物、事件等所用資料來源的說明；

（3）既要充分利用好有限的課堂時間，更要合理開發(fā)利用課外時間。

今中外的數(shù)學(xué)史中，蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓(xùn)。將數(shù)學(xué)史的知識融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項有力措施，也是擺在廣大數(shù)學(xué)教師面前的一項艱巨任務(wù)。我相信數(shù)學(xué)史知識的運用必然會推動數(shù)學(xué)教育事業(yè)的巨大發(fā)展，使巍峨的數(shù)學(xué)宮殿更加金碧輝煌！

參考文獻

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作者單位

貴州省甕安中學(xué) 貴州省甕安縣 550400