談談數形結合思想及其應用

摘 要

數形結合是將數學的抽象思維理解附以圖形，化無形為有形，幫助學生更為具體化的理解學習中所遇到的數學問題，以圖形來還原數學的本質。利用數形結合可以鍛煉數學思維，以及數學與圖形相聯系的能力，更容易剖析數學所要研究的本質問題，以最為簡潔易于思考的方式來完成對于數學的研究。本文著重就數形結合思想在解決線性規劃、解決數列、解決解析幾何、解決空間幾何等幾個問題進行初步的探討，以培養學生嚴謹的思維方式，同時幫助他們養成高尚的數學素養。

【關鍵詞】數形結合；數學應用；思考方式

1 引言

數形結合在中職數學中有著舉足輕重的位置，在中職不同階段的學習中都會運用到數形結合的思想。學生從學習數學開始教師就培養學生數形結合的思想，最早的識數便把數字與具體而有形的食物聯系到一起，再到后來的加減乘除等等。無一不是將抽象的概念具體化來研究數學的本質。隨著人們對于數學的深入研究，數形結合思想更加深刻的烙印在學生的腦海中，自然便成為了學生所養成的思考方式。

2 數形結合思想的理論

數和形都是數學研究者最為古老的研究對象，二者之間存在著一定的相關性，同時在某些條件下二者可以相互轉換。大部分的中職研究也是圍繞著這兩者而展開的。我們常把數量關系與圖形關系之間的結合就稱為數形結合。其實數形結合就是在數與形之間建立起某種聯系，而這種聯系就是數與形之間的對應關系。從實質上來講，數形結合就是把一些抽象的數學文字轉換為可見的圖形語言，從而使得繁瑣的問題簡單化，抽象的問題直觀化。數形結合思想的目的是將數學問題以最為簡單直觀的方式解答出來。

數形結合思想是傳統的數學思想，是將數的運算結合到形的基礎之上。把一些比較復雜的數學問題轉化成可以操作的數學運算。數形結合思想應用的也非常的廣泛，在集合、函數、不等式、三角函數、線性規劃、數列、解析幾何、空間幾何等數學模塊中都有著極高的應用率。所以利用數形結合的思想可以幫助學生解決多種類型的數學問題，使得數學更為直觀化。同時數形結合的思想還能提高學生對于數學學習的興趣，增大他們對于數學學習的熱情。

數形結合思想在眾多數學教育研究者心里也有著非常重要的地位。在歷年的普通高職單考單招考試卷中，需要運用數形結合思想來解題的例子占據了很大的比重，這也進一步說明了數形結合思想的重要性。往往利用數形結合解決的問題都會在增加了做題效率的基礎上鍛煉學生思維的活躍性，這對于中職生來說是非常重要的。在中職的教學中，數形結合這樣一種重要的數學思想應該介紹給中職生。這樣一種思維方式的養成有助于中職生在之后的數學學習研究中，應對各式各樣的數學問題都能取得事半功倍的效果。數形結合思想從本質上來講不是針對于某一道題，而是養成一種思考方式。使得學生從問題的本身跳出來，轉換一種思維方式，站在不同的角度將問題理解的更加透徹。而培養數形結合的思想不僅需要教師在平時授課時的滲透更加需要學生自身的思維轉換。

數形結合思想在解題的過程中往往可以明晰思路，有很多時候，對于一道數學問題毫無頭緒，采用數形結合的思想把問題轉換成另一種角度來理解，或許就可以找到問題的突破口，從而便可找出解決問題的一系列條件。針對于不同的問題只要將其中存在的某種對應關系找到，就可以與圖形上的點、線、面形成對應，自然而然就把問題中所對應的量找了出來。所以數形結合思想也是聯想與實際之間的橋梁。

數形結合的思想也體現了數學的嚴密性。倘若沒有數，則形也很難細致入微；倘若沒有形，則數也很難直觀。當我們在一道題中發掘了數量關系時，便可以思考它的幾何意義所在；當我們在一道題中觀察它的圖形，便可以思考他的數量關系所在。數形結合思想在中職中的應用是非常廣泛的，可以應用數量上的關系分析出圖形上的關系。數形結合可以使數與形之間相互轉換，從而培養了學生的縝密的思維方式。

在教學過程中，對于一些比較繁瑣復雜的題目，教師會應用數形結合的方法來減輕學生對于題目思考負擔，更能與班上的同學產生互動，增添課堂的氣氛。與此同時，利用數形結合的思想傳授一些比較枯燥的定理定義，可以使教學內容更加充實生動，又可以牢固學生的記憶。最為重要的是，數形結合思想的長期培養也可以養成學生自己分析的能力，以及創新能力的培養，從各個方面培養了學生的數學素養。

3 數形結合思想的應用

在數學學習中運用數形結合思想的關鍵是將數字與圖形之間建立起某種對應關系，從而將抽象化的問題轉向具體化。同時數形結合的思想也可以豐富數學的學習內容，增加學生對于數學學習的興趣，使得學生更加直觀簡潔的了解數學問題。

3.1 利用數形結合思想解決線性規劃問題

在針對線性規劃問題的求解過程中，數形結合的思想貫穿始終，按照題意將不同的條件進行約束規劃出可行域，最終通過對幾何意義的分析，劃定取值范圍。在做線性規劃這一類題型的時候，懂得運用數形結合則是解題的關鍵。

例題1.設二元一次不等式組

所表示的平面區域為F，求使函數的圖像過區域M的的取值范圍。

解析：先做出2u+v-19=0，u-v-8=0，u+2v-14=0三條函數的圖象，確定其可行域。圖中陰影部分的區域即為可行域，分別計算出三個定點的坐標為（8，3），（10，2），（9，1），再結合圖象確定取值范圍，可知。

3.2 數形結合思想解決數列問題

對于數列來說，可以把它看成是一種特殊的函數情況，數列的通項公式即可看做函數的表達式，這樣就可以借助函數的圖象對問題進行分析，可以比原題目的分析得更加透徹明了。

例題2.等差數列{}中，前m項的和，求的值。

解析：等差數列的前n項求和公式在中職期間是學生需要著重掌握的知識點，根據這道題中的已知條件可知，我們便可得出這樣的等式：

因為，所以，

上面的方法是比較傳統的解題思想，很復雜，計算量也大，容易出現計算錯誤。下面我們一起來看應用數形結合思想的解題步驟。

因為和a≠b，所以

。這時運用的二次函數圖像就可運用數形結合的思想將問題這樣理解：由，我們不妨設X<0，而z=Xp2+Yq的圖像是過原點的拋物線，于是根據可知，這條拋物線的對稱軸為

，自然就可以得出拋物線與x軸的一個交點為原點，另一交點橫坐標為（a+b），即Sa+b=0。

通過這樣一道題的兩種解法的對比，一目了然的將數形結合思想在數學解題中的優勢展露出來。

3.3 數形結合思想解決解析幾何問題

解析幾何這一類問題就是在考學生對于幾何的理解與想象能力。對于學生來說，如果將數學邏輯的思維能力比作骨架的話，那么圖形就是血肉。可以說，沒有圖形結合的解析幾何解答是空洞的，也是很難完成的。所以無論是對于什么樣基礎的學生來說，解決解析幾何問題都要建立在數形結合的思想之上，畫出對應的圖形就成了做題的關鍵。自然而然數形結合思想在這類問題上的重要性是無可厚非的。

例題3.定圓上有動點B，它關于定點E（7，0）的對稱點是C，點B以A為圓心逆時針方向旋轉120°后到點D，求線段CD長度的最小值和最大值。

解析：首先，根據這道題的題意可以先做出定圓A的圖象，圓心A的坐標為（3，3），再分別在圖中做出B，C，D這幾個點。針對與這類題型可以將B點的坐標設為

，之后再分別計算出C，D兩點的坐標。運用兩點間的距離公式就可以將|CD|的距離表示出來，從而找出線段CD的最值。不過這樣方法的計算量是非常大的，對學生計算能力也有很大的考驗。

但是，如果我們仔細的觀察圖形就會發現E是BC中點。我們可以取BD的中點為F，連接FE，于是根據三角形中位線的性質就可得知|CD|=2|EF|。又因為F是BD的中點，連接AF，于是有AF垂直于BD，

。所以就可以得出

。動點F的運動軌跡是以A為圓心，

為半徑的圓。這時對于求|CD|的最值就轉化為點E點到圓距離的最值了。過點A和點E的直線交圓上兩點為點H和點G，于是就有

從而就得出線段CD的最大值和最小值分別為

和。

3.4 數形結合思想解決空間幾何問題

空間幾何類似于解析幾何，都屬于幾何的范圍內。同樣數形結合具有同等重要的地位，所以解決這一類問題單靠想象還是不可取。運用數形結合的思想來找出題與圖形的對應關系就是解題的要點。

例題4：如圖，在直角梯形PQRS中，∠PSR=90°，RS∥PQ，PQ=4，RS=PS=2，點A為線段PQ的中點。將△PSR沿PR折起，使平面PSR⊥平面PRQ，得到幾何體S-PRQ，如圖所示。

（Ⅰ）求證：QR⊥平面PSR；

（Ⅱ）求二面角P-SR-A的余弦值。

（1）根據圖1可知PR=QR=，所以PR2+QR2=PQ2，即PR⊥QR。

現在取PR的中點為T，并且連接ST，于是就有ST⊥PR，面PSR⊥面PQR。

面PSR∩面PQR=PR，ST面PSR，從而就有ST⊥面PQR，所以有PR⊥QR，PR⊥QR，ST∩PR=T，即QR⊥面PRS。

（2）建立如圖所示的直角坐標系，

設a=（x，y，z）為面ARS的法向量，

令x=-1，可得n1=（-1，1，1）。

于是，又n2=（0，1，0）為面PRS的一個法向量，所以

所以二面角P-RS-A的余弦值為。

4 結束語

數形結合就是將數與形結合在一起，使得抽象的思維和形象的思維并存。充分的將二者之間優劣勢相互互補，至此達成一種最佳的思考方式。應用數形結合的思想可以將繁瑣問題簡單化，抽象問題直觀化，從而以最最明了的方式解決數學問題。

應用數形結合的方式并不是最終的目的，重在培養學生的思維方式。在解決實際的問題時，應該時刻運用數形結合的思想。懂得將數與形相互轉換，建立一種對應關系，并且合理的應用。學生在平時的學習中應主觀鍛煉自身的思維方式，靈活的運用數形結合的思想。教師在傳授數學知識的同時也應時時滲透數形結合的思想，培養學生嚴謹的思維方式，同時幫助他們養成高尚的數學素養。

參考文獻

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作者簡介

劉軍紅 （1971-），男，浙江省開化縣人。大學本科學歷。現供職于浙江省開化縣職教中心教師（中學一級職稱）。研究方向為中職數學教學。

作者單位

浙江省開化縣職教中心 浙江省開化縣 324300