抓住“轉(zhuǎn)化”的韁繩套住一元二次方程解法這匹“野馬”

摘 要

一元二次方程是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的最次的方程，解一元二次方程較一元一次方程方法難、解法多很多學(xué)生一開始覺得解方程還挺簡單但是多種方法都學(xué)完后反而看見方程束手無策，不知道用何種方法求解。其實(shí)學(xué)生只要看清各種解法都可以由平方根定義轉(zhuǎn)化而來，各種解法也是按照“降次”和轉(zhuǎn)化為一元一次方程的思想來解決，不僅可以熟練求解一元二次方程還可以舉一反三求解一些高次方程、分式方程、無理方程等。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想；一元二次方程；解法；降次

求解一元二次方程教材中主要介紹了直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法四種解法，前三種解法都是根據(jù)平方根的定義演變而來，第四種因式分解法體現(xiàn)了解高于一次的方程的本質(zhì)通用的思想方法：高次方轉(zhuǎn)化為低次方，多元轉(zhuǎn)化為一元來求解。本文對教材中的四種解法逐一剖析結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”把多種解法化歸為同一解法，讓我們更好的掌握解一元二次方程的解法理清解方程的思路。

一元二次方程形式多樣變化多端，解法也有多種，對于學(xué)生來說可謂是解方程中的一匹“野馬”，但是只要看清了抓住了解法中的“轉(zhuǎn)化”這一“韁繩”那么解一元二次方程的方法會(huì)變得簡單明了。

轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程中運(yùn)用的明線。

根據(jù)平方根的定義，如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。正數(shù)a的正的平方根，記作x=±。

由此x2=2可知x就是2的平方根，因此x的值為和-。

即根據(jù)平方根的定義，得x2=2，x=±

即此一元二次方程的解為：x1=，x2 =-

教材中主要介紹了四種解方程的方法，每種解法處處運(yùn)用轉(zhuǎn)化來解決問題。按照教材安排的先后順序首先是：直接開平方法

問題1 如何解以下一元二次方程：

（1）2x2=4

（2）2x2-4=0

（3）（x+1）2=2

（4）2（x+1）2=4

（5）2（x+1）2-4=0

解決問題（1）2x2=4

運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，當(dāng)系數(shù)不為“1”就化為1，轉(zhuǎn)化為x2=2得到x2=a（a≥0）平方根定義中的形式，解為±

（2）2x2-4=0

移項(xiàng)：2x=4當(dāng)方程左邊有常數(shù)項(xiàng)時(shí)，通過移項(xiàng)化成（1）中形式在求解

（3）（x+1）2=2，把（x+1）看作整體，以上方程便化為x2=a（a≥0）的形式，可以兩邊開方得x+1=±，再解兩個(gè)一元一次方程得x的值。

（4）2（x+1）2=4，可以看作是（2）和（3）的結(jié)合體，只要把系數(shù)化為1，便成為（3）中形式再求解。第（5）題只要通過移項(xiàng)就可化為第（4）個(gè)問題來求解。

歸納總結(jié)：如果一個(gè)一元二次方程具有a（x+m）2-b=0，

的形式，a（x+m）2-b=0 移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為a（x+m）2=b系數(shù)化為1轉(zhuǎn)化為

，平方根定義的形式，根據(jù)平方根的定義，兩邊開平方得

轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程再求解。如果遇到（5-2x）2=9（x+3）2只要把9（x+3）2看作非負(fù)數(shù)就化為（3）的形式。

直接開平方法就是把方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n，（n≥0）的形式實(shí)際上就是正數(shù)平方根的定義。（用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個(gè)完全平方式，右邊化為非負(fù)的整式）

配方法

問題2 如何解以下一元二次方程：

（1）x2+6x+4=0

（2）3x2+8x+1=0

我們已經(jīng)知道了直接開方法，能否將“新”方程x2+6x+4 = 0轉(zhuǎn)化為（x+m）2= n的“舊”形式呢？

運(yùn)用配方的方法，先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得

x2+6x=-4

即 x2+2·x·3=-4

在方程的兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)6的一半的平方，即32后，得

x2+2·x·3+32=-4+32

（x+3）2=5

解這個(gè)方程，得： x+3=±

所以 x1=-3+ x2= ―-3

歸納總結(jié)：由此可見，只要先把一個(gè)一元二次方程變形為（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常數(shù)），如果n≥0，再通過直接開平方法求出方程的解。如第二小題如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1，我們可以先化為1，第2小題先將方程兩邊同時(shí)除以3，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再用配方法解之.至此，我們已經(jīng)可以求解所有的一元二次方程。

公式法ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）

問題3如何解以下一元二次方程：

解一元二次方程的一般式實(shí)際上就是一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，在整個(gè)推導(dǎo)的過程中也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程發(fā)現(xiàn)就是在問題2中第二小題的數(shù)字系數(shù)變成了字母系數(shù)，根據(jù)代數(shù)思想把字母當(dāng)作數(shù)字來處理

因?yàn)閍≠0，方程兩邊都除以a，得

移項(xiàng)，得

配方，得

即

化成了（x+m）2=n的形式（其中m、n都是常數(shù)n≥0），用問題1的方法來解得到求根公式：

，即

這個(gè)公式說明方程的根是由方程的系數(shù)a、b、c所確定的，利用這個(gè)公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，帶入求根公式直接求得方程的解。因此問題1和2中的一元二次方程求解時(shí)只需轉(zhuǎn)化為一般式就可以求解。

綜上三種解一元二次方程的方法都可以看作是平方根的定義演變而來，從x2=a（a≥0） 變?yōu)椋▁+m）2= n的形式（其中m、n都是常數(shù)n≥0）再變?yōu)閍（x+m）2-b=0，

反之用配方把a(bǔ)x2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）變?yōu)椋▁+m）2= n的形式（其中m、n都是常數(shù)n≥0）化成x2=a（a≥0）得x=±兩個(gè)一元一次方程。

轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程中運(yùn)用的暗線：

因式分解法

一元二次方程x2+（p+q）x+pq=0可化為x2+（p+q）x+pq=0根據(jù)A·B=0可得A=0，B=0，所以x=-p，x=-q

問題4如何解以下一元二次方程：x2-x=0

仔細(xì)觀察方程的左邊，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式的左邊有公因式x，這時(shí)可把x提出來，左邊即為兩項(xiàng)的乘積，我們知道：兩個(gè)因式的乘積等于0，則這兩個(gè)因式為零，這樣就把一元二次方程降為一元一次方程，此時(shí)，方程即可解。

解：x2-x=0，x（x-1）=0，于是x=0或x-3=0

∴x1=0，x2=3

如x+3-x（x+3）=0可化為（x+3）（1-x）=0，（2x-1）2-x2=0可化為（2x-1-x）（2x-1+x）=0，把高次方程通過因式分解降為兩個(gè)一元一次方程來求解。

歸納總結(jié)：如果一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積，那么這樣的一元二次方程就可以用因式分解法求解。利用因式分解法解一元二次方程，體現(xiàn)“降次”化歸的思想方法

再回顧問題1 的（3）（x+1）2=2，把（x+1）看作整體，以上方程便化為x2= a（a≥0）的形式，可以兩邊開方得x+1=±，再解兩個(gè)一元一次方程得x的值。開平方法求解方程事實(shí)上也是“降次”，把二次方程化為一次方程來求解。在推導(dǎo)求根公式時(shí)如出一轍把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程

因此求解一元二次方程還有一條轉(zhuǎn)化的思路，把二次方程化為兩個(gè)一次方程的積為零再求解。

事實(shí)上一些高次方程也可采用轉(zhuǎn)化為底次方程的思想來求解。運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想還可以解把分式或無理方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程再轉(zhuǎn)化為一元一次方程來講解。用轉(zhuǎn)化的思想還可以解一下一些“新”方程

高次轉(zhuǎn)化為低次

例：解方程x4-5x2+6=0分析：這是一道一元高次方程，可通過換元進(jìn)行降次，轉(zhuǎn)化為會(huì)解的一元二次方程設(shè)x2=y則上式變?yōu)闀?huì)解的一元二次方程y2-5y+6=0，再進(jìn)一步來解。

解分式方程

，可以通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程x2+x-2=0解得x1=-2，x2=1。通過“去分母”解方程，有可能產(chǎn)生增根，所以必須檢驗(yàn)。經(jīng)檢驗(yàn)x2=1不是原方程的根，原方程的根為x=1

無理方程，可以通過方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為x+1=9，可得x=8通過“方程兩邊平方”解方程，有可能產(chǎn)生增根，所以必須檢驗(yàn)。例如把方程兩邊平方，得x+6=x2，解得x1=3，x2=-1。經(jīng)檢驗(yàn)x2=-1不是原方程的根，是增根。

通過轉(zhuǎn)化的思想還可以解二元二次方程組，例如

， 等高次方程組。

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作者單位

江蘇省蘇州市相城區(qū)蠡口中學(xué) 江蘇省蘇州市 215000