一元微積分教學(xué)之思考

陶印修+徐云

【摘要】本文圍繞該院大一學(xué)生用56學(xué)時(shí)所學(xué)數(shù)學(xué)——一元微積分談一談我們的教學(xué)思考，希望能對學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差、學(xué)習(xí)潛力不大的同學(xué)有所幫助，使其能聽懂、學(xué)會(huì)。多接觸、多重復(fù)是學(xué)好知識的關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】暗線；明線；逆運(yùn)算；實(shí)質(zhì)；興趣教學(xué)

教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，如通過數(shù)學(xué)文化的介紹達(dá)到學(xué)生愛學(xué)習(xí)的目的。教學(xué)中幫助學(xué)生減輕學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的難度，如通過深挖實(shí)質(zhì)達(dá)到化難為易的目的。教學(xué)中有些內(nèi)容采用“灌輸式”的教學(xué)模式，而有些內(nèi)容采用“啟發(fā)式”的教學(xué)模式。教學(xué)中多采用案例教學(xué)法，達(dá)到學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)的目的。

一、把握好一條暗線

基本初等函數(shù)部分作為一條暗線貫穿高等數(shù)學(xué)的始終，須牢記其表達(dá)式、圖像。

二、把握好一條明線

極限部分作為一條明線貫穿高等數(shù)學(xué)的始終。首先把握好能通過基本初等函數(shù)的圖像看出極限來，其次把握好極限只是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一種基本方法，通過簡單的案例達(dá)到學(xué)生會(huì)求簡單的不規(guī)則平面圖形的面積的方法。

三、統(tǒng)籌安排教學(xué)內(nèi)容

復(fù)習(xí)反函數(shù)時(shí)學(xué)生會(huì)容易說出關(guān)于原函數(shù)的錯(cuò)誤概念。縱觀高等數(shù)學(xué)，原函數(shù)的概念非常重要，而且不易掌握，容易出現(xiàn)混淆。基于學(xué)生會(huì)求導(dǎo)，因此有必要在此激活原函數(shù)概念，以引起學(xué)生的興趣與重視；講微分學(xué)時(shí)再次激活原函數(shù)概念，適時(shí)引出湊微分，將為學(xué)好積分學(xué)打好基礎(chǔ)。

四、強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的四種記法與強(qiáng)調(diào)對誰求導(dǎo)

導(dǎo)數(shù)有四種記法，各有各的功能。只用一種記法是有局限性的，應(yīng)強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的四種記法，還因強(qiáng)調(diào)是對誰求導(dǎo)，這對后面的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、掌握微分是有幫助的，且能夠把知識活學(xué)活用。

五、強(qiáng)化逆運(yùn)算

積分與微分互為逆運(yùn)算。學(xué)生們學(xué)微分時(shí)還可以，但到學(xué)積分時(shí)往往跟不上，關(guān)鍵問題是積分公式不熟，其實(shí)積分基本公式就是導(dǎo)數(shù)基本公式反過來說而已，導(dǎo)數(shù)公式記熟了，自然就能推導(dǎo)出積分基本公式，只需再用心記熟即可。

六、表象與實(shí)質(zhì)

變化的是表象，不變的是實(shí)質(zhì)。實(shí)質(zhì)問題掌握了，表象問題就會(huì)迎刃而解。下面用到的α均為某種趨勢……下的無窮小α≠0。

（一）在教學(xué)忠澄清函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)

即對應(yīng)法則f是定義在定義域D上的函數(shù)。掌握了函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，不僅解決了決定函數(shù)的兩要素的問題，而且對后面理解定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)很有好處。

（二）在教學(xué)忠澄清兩個(gè)重要極限的實(shí)質(zhì)

第一個(gè)重要極限的實(shí)質(zhì)為lim...sinαα=1。掌握了它，就容易掌握利用第一個(gè)重要極限求極限。

第二個(gè)重要極限的實(shí)質(zhì)為lim...1+α1α=e。掌握了它，就容易掌握利用第二個(gè)重要極限求極限。

（三）在教學(xué)忠澄清等價(jià)無窮小的實(shí)質(zhì)

即常用等價(jià)無窮小中的x均可以換為α。掌握了等價(jià)無窮小的實(shí)質(zhì)，就容易掌握利用等價(jià)無窮小求極限。

（四）在教學(xué)忠澄清導(dǎo)數(shù)定義式的實(shí)質(zhì)

即f′x0=lim…fx0+α-fx0α。掌握了導(dǎo)數(shù)定義式的實(shí)質(zhì)，就容易掌握利用導(dǎo)數(shù)定義式求極限。

（五）在教學(xué)忠澄清復(fù)合函數(shù)微分法的實(shí)質(zhì)

即導(dǎo)數(shù)基本公式或微分基本公式中的x都可以換成u。掌握了復(fù)合函數(shù)微分法的實(shí)質(zhì)，不僅容易掌握微分學(xué)，而且對學(xué)生們將要學(xué)的積分學(xué)打下了一定的基礎(chǔ)。

（六）在教學(xué)忠澄清積分基本公式的實(shí)質(zhì)

即積分基本公式的x都可以換成u。掌握了積分基本公式的實(shí)質(zhì)，不僅容易掌握第一換元積分法，而且對學(xué)生們將要學(xué)的分部積分法打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

七、興趣教學(xué)與案例教學(xué)

在教學(xué)中采用有興趣的案例進(jìn)行教學(xué)，會(huì)收到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)文化在其中會(huì)起到很好的作用。

八、數(shù)學(xué)與專業(yè)

數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，反過來又服務(wù)于實(shí)際。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)為專業(yè)知識的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，達(dá)到零對接的目的。數(shù)學(xué)服務(wù)專業(yè)有利于學(xué)生學(xué)習(xí)技能與專業(yè)技能的提高。