淺談數形結合思想在數學教學中的應用

彭兆香

摘要：初中數學的學習不再局限于簡單的運算和數學概念的認識，開始接觸邏輯性和抽象性較強的數學應用題，數學學習走向新的高度。因此，教師在初中數學教學中應當注意向學生滲透數學思想。而數形結合解題思想是初中數學解題中最常見、最有效的解題方法之一，它貫穿數學教學的始終，既符合新課程標準，又是進行數學素質教育的一個切入點。本文通過對教學實例的簡要敘述，分析了初中數學教學中“數形結合”思想的應用。

關鍵詞：數形結合思想；數學教學；以形助教；應用

【中圖分類號】G633.6

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。數形結合是在一定的數學知識、數學方法的基礎上形成的，它對理解、掌握、運用數學知識和數學方法，解決數學問題能起到促進和深化的作用。

一、數形結合思想的意義及重要性

我國著名數學家華羅庚對“數”與“形”之間的密切聯系有過一段精彩的描述：“數與形本是相依，焉能分作兩邊飛，數缺形少直覺，形少數難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫分離。”寥寥數語，把“數形結合”之妙說得淋漓盡致。“數形結合”是將知識轉化為能力的“橋”。而課堂中數形結合思想的運用，有利于突破教學難點，有利于動態地顯示給定的幾何關系，為學生創設愉快的課堂教學氣氛，激發學生的學習興趣，使學生喜歡數學，愛學數學。

二、數形結合思想的原則

1.等價性原則

等價性原則是指代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則解題會出現漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現數的一般性，這時的圖形性質只是一種直觀而顯淺的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導。

2.雙向性原則

雙向性原則就是既進行幾何直觀的分析，又進行代數抽象的探索，兩方面相輔相成，遇到問題進行幾何分析或者僅對幾何問題進行代數分析都是一種天真的誤解。

3.簡單性原則

簡單性原則是讓復雜問題簡單化。找到解題思路后，至于用幾何方法還是代數方法，后者兼用兩種方法來敘述，取決于哪種方法更加優美，更加簡單，或者便于達到教學目的，而不是一種理性的模式那樣，代數問題用幾何方法，幾何問題用代數方法。

4.直觀性原則

以形助數時，能夠通過直觀分析，將抽象的數學問題簡單化、具體化、直觀化，問題理解起來更加明了、深刻。

三、數形結合思想在初中數學教學中的應用

1.利用數形結合思想解不等式

不等式問題的求解方法靈活多樣，除了應用不等式本身的性質進行等價轉化、分類討論以外，還可以運用數形結合的思想賦予不等式相應的幾何特征，借助于圖形的性質，可以使抽象的數量關系變得直觀而形象。例如，解關于x的不等式-b< 0，b>0。

解：畫出函數 的圖像，容易知道 ，即得不等式的解集為 > ，或x<-

圖1

2.利用數形結合思想求最值

最值問題涉及的知識面廣、綜合性大、應用性強，能很好地考察學生的創新能力和潛在的數學素質，用數形結合的思想方法解決最值問題，能使數與形有機地結合在一起，使問題迎刃而解。例如，求代數式|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析：|x+1|表示點x和點-1之間的距離，|x-2|表示點x和點2之間的距離，|x-3|表示點x和點3之間的距離，如圖2。

圖2

顯然，當三條線段沒有重合部分，其距離之和最小，此時x=2，即原式的最小值為點-1和3之間的距離，所以|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值=4。

3.利用數形結合思想求值域

函數值域問題是函數問題中的一大重、難點，然而若注重函數問題的幾何特征，把函數求值的代數問題通過數形結合思想的運用轉化為兩點距離問題、斜率問題等，則可使問題迎刃而解。例如，已知（x-2）2+（y-2）2=1，求z=2x+y的最值。

圖3

分析：（x，y）在定圓上，求z=2x+y的最值可轉化為：求直線y=-2x+z的縱截距最值問題.如圖3，平移直線y=-2x，利用解析方法便可得到解決。

歸納：已知（x，y）滿足的平面區域，求z=ax+by的最值問題，均可用類似轉化方法。其實，這就是線性規劃最優解問題的解決方法之一。

五、結束語

作為初中數學解題中的重要思想方法之一，數形結合思想對于溝通知識之間的聯系、激活學生的思維、提高學生的數學能力、調動學生的積極性和主觀能動性將起到重要作用。在今后的數學教學中，數學教師要有意識地去培養和提高學生這方面的能力，使學生掌握統一數與形的方法，提高學生的數學能力。

參考文獻

1.方偉.淺談數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].語數外學習（初中版下旬），2014（04）48-49.