中考數學壓軸題的賞析與思考

鐘記銘　何琴

[摘要]文章對2016年廣西欽州市中考數學一道壓軸題進行深度的分析、研究，給出了多種解答方法，并由此提出2017年中考數學復習建議。

[關鍵詞]中考數學；壓軸題；賞析；思考

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2017）05-0001-03

綜合①②可得到△PDE的面積關于x的函數解析式，最后把二次函數一般式化為頂點式即可求出最大面積。

四、試題研究

1.命題反思

縱觀廣西欽州市多年來的中考數學壓軸題，考查的重點都放在高中繼續學習的函數問題上，基本上是以函數為載體考查函數或幾何，此類題在中考中往往有起點不高、要求較全面的特點。其中以二次函數為背景的壓軸題常受命題者的青睞。但由于受學生所學知識限制，命題一般不會以純函數的形式出現，而是結合幾何圖形或點的運動使幾何圖形發生變化，突出考查函數思想在動態幾何中的運用，從而讓代數與幾何有機結合起來。通常情況下，試題經常綜合數與形、代數計算與幾何證明、相似三角形的判定與性質、畫圖分析與列方程組求解、勾股定理與函數、三角形和特殊多邊形等知識點出現。

今年該壓軸題嘗試考查拋物線與圓及三角形的綜合運用，這在本市的中考題中是首次涉及。其中第（1）小題考查用待定系數法求二次函數的解析式，第（2）小題把圓與三角形融入拋物線中，考查運用二次函數的性質和相似三角形的判定與性質求線段DC的長，這兩小題主要考查了學生用“數”析“形”的技能與計算能力。從學生的答題情況來看，目標已經達成；而對于第（3）小題則是以拋物線為載體，設置了由拋物線上點的運動變化對三角形的面積變化產生的影響的綜合背景，解決與拋物線有關的點的坐標及三角形面積的最值問題。本小題若單獨出現，考查的目的還是令人滿意的。若深入研究本小題與第（1）、（2）小題所考查的知識點的關系，可以發現融入“圓”這一知識點對于本小題并沒有起到相輔相成、多題歸一的作用。筆者認為，如果本小題能把“問題”設計為平移后的拋物線與圓只有一個公共點（即相切），滲透切線的性質來解答有關問題，知識點的銜接會更自然，考查的效果會更好。

2.命題方向及備考建議

隨著課程標準的基本理念被教師廣泛認識，對“自主探究、合情推理”“數學活動過程”“數學思想方法”的考查比例也呈增強之勢，而研究的數學問題也逐漸趨向于生活化。為了實現這一理念，一些中考壓軸題讓學生經歷某種形式的數學活動，并從活動過程中去發現問題、提出問題，進而解決問題。這些題目往往以一題多變、多題歸一的方式出現在學生的面前。這一類試題較好地考查了學生通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并助某種方式證明猜想的合理性的能力，這對于促進課程改革也具有積極的推動作用。試題還應繼續加強對問題形成過程及探索性問題的考查，這樣才有助于落實新課標所倡導的教學方式，有利于引導教學實踐。基于這樣的命題趨勢，結合我市的現狀，筆者認為在今后的中考數學復習教學中，教師應做好以下三點。

（1）注重對教材的研究，抓實基礎，提高學生的基本技能

中考數學復習中，我們應做到“立足基礎，培養能力，提高素質”，尤其要立足于教材。近年來的中考數學壓軸題的命題基本上是教材中題目的引申、變式或組合，特別是新課標修訂后的人教版教材的函數內容的編排有“螺旋上升”的優點，所以我們必須指導學生深入鉆研教材，絕不能脫離課本，一味搞“題海戰術”，讓學生整天埋頭做大量的課外習題。對于學優生，我們應指導他們加強各模塊內部知識的整合，尋求各模塊知識間的交叉點、聯系點，因為有區分度的試題往往就出自于這些地方。對于學困生，我們應指導他們完成教材中的習題，要求他們注意解題方法的歸納和整理。

（2）重視對題型的研究，提高學生的解題能力

①關注“幾何變換”，強化對圖形變換的理解

在中考數學復習中，我們應加強對圖形的平移、對稱、旋轉等多種變換的研究，注重引導學生采用運動的觀點來分析圖形的變換聯系，引導學生學會審題、閱圖、獲取信息，學會從多角度、多側面去分析圖形變換的規律，從而逐步提高學生分析圖形的能力和培養學生相應的解答技巧。

②重視“函數圖像變換型”問題教學的研究

通過開展“函數圖像變化”的專題教學，盡量減少學生對函數“數形”認知的欠缺，樹立函數圖像間相互轉換的思維。如平時教學中應多滲透拋物線的軸對稱、旋轉等知識點，當某個函數圖像經過變換出現多個函數圖像時，要注重引導學生從圖形間的相互聯系中尋找切入點，排除識圖的干擾，對圖像所蘊含的信息進行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進行到底。

③注重題型的解題方向和策略方法的研究，培養學生的數學思維

數學能力的提高在于解題的質量而非解題的數量，我們在教學中應啟迪學生從題目的條件和求解（或求證）的過程中提取有用的信息，由此推動題目中信息的延伸，并把它們歸結到某個確定的數學關系，從而形成一個解題的行動序列，由此獲取不同題型的解題方向。由于題目信息會與不同數學知識點進行整合，這往往讓題目容易形成多個解題方向，我們在教學中應注意引導學生抓住數學知識的主干部分與通性通法，在此基礎上尋求不同解題途徑與思維方式來解題，并由此向學生滲透“擇優解題”的技巧，從而讓學生盡可能多地獲分的同時，培養學生思維的廣闊性、靈活性和敏捷性。

（3）重視數學核心概念及核心知識點的組合、思想與方法的考查，促進學生理解數學的本質

中學數學核心概念、思想方法是數學知識的精髓，教學中我們要有意識地將教材中的核心知識點進行“組合”與“串接”或者精選一些比較成功的中考數學壓軸題，有目的地將它們進行剪裁、組合與改編，以考查綜合實踐應用能力的題為重要載體，以題論法。命題中只有注重對知識點進行“整合”來考查數學思想與方法，才能較好地促進學生理解數學的本質。

（責任編輯 黃桂堅）