高中物理教學中微分思想的應用

麻迎良

【摘 要】高中物理教學中，要給學生逐漸滲透等效思想、微分、逆向等多種思想。其中微分思想是一種非常重要的思想，理解勻變速直線運動的位移公式、瞬時速度、電場強度的疊加等都要用到微分思想，但在教學中掌握好度，不可過深過難。

【關鍵詞】微分；思想；場強的求解；比值定義

微分是極限和積分的基礎，是解決變化量的有力工具，是構成高等數學的主要主柱。在高中新課程中，數學科引入了《微積分初步》，所以在物理上，把以前避而不談的微分和極限的思想，也引了進來，雖然不要求直接掌握，但為了學生發展的需要，采取了逐步滲透的方法，依據新課程標準中“體會數學在研究物理問題中的重要性”的精神，我認為，高中物理中對學生滲透微分思想有以下意義：一是拓展學生的數學應用空間，提高學生的數學應用能力。在高中數學中，常以物理問題作為實例進行分析，所以在物理學習中也更應該突出數學知識的應用。二是為了適應學生的可持續發展。因為進入大學后，高等數學的第一部分內容便是導數學和微積分，而在高中階段有了微分和積分的初步知識后，對學習高等數學奠定了基礎，降低了門檻。三是適應學生創新思維的培養和全面發展的需要。適應新課程標準中關于“關注學生終身發展，為科學觀和價值觀打下基礎”培養目標。

微分和極限思想固然重要，但在教學中應掌握好“度”，不可過深，但也不能回避。下面結合我的理解和教學中的實踐，談談高中物理教學中物理知識和微分思想的結合。

一、用比值定義的物理量的數學意義

在高中物理中有很多物理量是用比值定義法定義的，如：速度v=、加速度a=、功率p=、電流強度I=、感應電動勢E=等，這些公式求出的值，嚴格地說都是在t或Δt內的平均值，當Δt趨近于零時，上面各式求出的才是瞬時值，因此，我在講授平均速度與瞬時速度時，給學生指出，用實驗的方法測平均速度非常容易，只要測出一段時間內的總位移即可，而瞬時速度是無法直接測量的，只能用極短時間內的平均速度近似代替瞬時速度，高速公路上的雷達測速就是這個原理。

二、有些公式的適用條件的理解

像場強公式E==一般只能用于勻強電場，但也可給學生滲透：當Δd趨近于零時，公式E==求出的就是某點的場強，所以此公式也適合非勻強電場，因此在非勻強電場中可用此公式定性地進行判斷。再如磁感應強度公式：B=一般也只適用于勻強磁場，因為導體所在區域各點的磁感應強度只有相同時才能用此公式，但當導線非常短時（也即電流元），此公式仍成立，并且求出的是電流元所在處的磁感應強度。

三、用微分和對稱思想求解非點電荷的場強

我們學過的特殊電場有點電荷的電場和勻強電場。而當一個電場是任意帶電體形成的電場時，可將帶電體分成很多等份，每一份就是一個點電荷，然后用點電荷的場強公式求出每一份的場強，再結合對稱性進行合成。

例：如圖所示，一個半徑為r的圓環均勻分布著電荷Q，求圓環的中軸上與圓心O點相距L遠的P點處的場強。

解：應題目中沒有交待L>r，所以圓環不能當作點電荷，所以不能直接求P點的場強，只能將圓環分成n份，當n很大時，每一份就可看作點電荷。取上與O點對稱的兩份M、N。它們在P點的場強EM和EN大小相等，如圖。

EM=EN=K=K，它們的合場強為

E1=2×EMcosθ

則P點的場強為E=E1=Kcosθ=K

用這個方法，同樣可求解不是質點可均勻球體情況下的萬有引力問題。

四、用微分和積分思想推導勻變速直線運動的位移公式，并拓展

勻速直線運動中，因為速度不變，所以位移x=vt，在v-t圖上，x等于圖象與兩坐標軸所圍矩形的面積，如圖。

勻變速直線運動中，速度是變化的，v-t圖如圖，如圖把時間t分成n等份，則Δt內的運動如果看成勻速直線運動，則每一段時間內的位移（小矩形的面積）近似等于小梯形的面積，如果n越大，Δt越趨近于零，兩者越接近相等，再積分，就得出V-t圖上的面積也等于位移x。

x=（v0+v）t×=v0t+at2。

拓展一：根據以上微分和積分思想，其它任意變速運動中，V-t的面積都等于這段時間內的位移。

拓展二：根據W=FX，W等于F-X圖像的面積。

拓展三：根據q=It，q等于I-t圖像的面積。

拓展四：根據I=Ft，I等于F-t圖像的面積。

拓展五：根據Δv=aΔt，Δv等于a-t圖像的面積。

例：（2008年寧波市高二物理競賽）一物體初速V0=5m/s，作變加速運動，加速度與時間的關系為a=3t+2m/s2，則該物體的速度與時間的關系為：_________________。

解：作出a-t圖如圖，則t秒內的速度增量Δv為圖像的面積：ΔV=（3t+2+2）×t×=t2+2t，則t秒末的速度為v=v0+Δv

v=t2+2t+5。

總之，高中階段，物理教學中只能將微積分思想簡單滲透，用微分和積分的思想解題，不要求直接用微積分解題，否則，只會加重學生負擔。