an=man—1+k型遞推數列的通項公式求解

談文越

【摘 要】對于an=man-1+k型遞推數列，利用加權累加法、累乘法、差分法和換元法等方法求其通項公式，并探討了此類數列和差等比數列的交叉關系。

【關鍵詞】遞推數列；通項公式；差等比數列

數列是高中數學的一個重要模塊，內容豐富、綜合性強，尤其是求遞推數列的通項公式，需要觀察、歸納、轉化，是近年來高考和競賽的熱點之一。對于形如an=man-1+k（m，k為常數）的遞推數列，我進行了思考分析、歸類整理和拓展比較，形成了一套行之有效的解題策略，下面通過實例具體說明。

例 已知數列{an}滿足a1=3，an=2an-1+1，求數列{an}的通項公式。

1.加權累加法

由an=2an-1+1，可得2an-1=22an-2+2，22an-2=23an-3+22，…，2n-2a2

=2n-1a1+2n-2。以上各式相加，即得an=2n-1a1+1+2+22+…+2n-2。把a1=3代入，整理可得an=2n+1-1。

點評：構造加權累加，旨在消去數列的中間各項，從而可得通項an與首項a1、項數n之間的關系。

2.累乘法

an=2an-1+1變形可得an+1=2（an-1+1），亦有an-1+1=2（an-2+1），…，a2+1=2（a1+1）。把上述n-1個式子相乘，可得an+1=2n-1（a1+1），故an=2n-1-1。

點評：累乘法思路清晰、計算量小，關鍵在于挖掘遞推數列的變形關系式，該問題可利用待定系數法解決。比如，設遞推數列an=man-1+k變形為an-λ=m（an-1-λ），由此可解出λ=。這一思想和有些教材中介紹的特征根法、不動點法類似，可推廣應用到形如an=man-1+k×bn的數列，設其可變形為an-λ·bn=m（an-1-λ·bn-1），由此可得λ=，此時，{an-λ·bn}是公比為m的等比數列，故an=λbn+（a1-λb）mn-1=a1mn-1+。

3.差分法

對于an=2an-1+1和an-1=2an-2+1，兩式相減可得an-an-1=2（an-1-an-2），由于{an-an-1}是首項為a2-a1=4、公比為2的等比數列，故an-an-1=4×2n-1，迭代可得an=2n+1-1。

點評：遞推數列an=man-1+k也是一階差等比數列，即數列{an}的一階差分數列{an-an-1}是首項為a2-a1=d、公比為m的等比數列，利用差分法可推證該數列的通項公式為an=a1+d。

4.換元法

對于an=2an-1+1，左右兩邊同時除以2n，可得=+，則新構造的數列{}正是一階差等比數列，根據方法三的結論，可直接得出=2-，故an=2n+1-1。

點評：雖然上述求解略顯繁瑣，但對于an=man-1+k×bn型數列，利用換元法卻非常簡潔。由=+k×（）n可知，數列{}是一階差等比數列，其一階差分數列的首項為-、公比為，可推出=+（-），故通項公式為an=a1mn-1+，與方法二的結論完全相同。

an=man-1+k型遞推數列和等比數列、差等比數列密切相連，解題方法靈活多變，不同方法之間又互為運用，并為更復雜的an=man-1+k×bn型遞推數列提供求解思路。

【參考文獻】

[1]朱立明.另辟蹊徑，求數列通項的三種思路[J].數學教學研究，2015.34（3）：41-44

[2]高巧玲.常見數列及其關系[J].山西教育，2009.11：18-20