例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生

【摘 要】教材試題的衍生是命題者命制試題的主要手段。對(duì)近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了研究，總結(jié)提煉出教材試題衍生的方法：“從特殊生長(zhǎng)到鄰近，從鄰近生長(zhǎng)到一般”、“組合生成，逆向衍生”與“背景轉(zhuǎn)換，代數(shù)與幾何跨界”等，并對(duì)衍生試題的分析提供了方法。

【關(guān)鍵詞】命制試題；江蘇高考數(shù)學(xué)；試題衍生；衍生試題的分析

試題源于教材， 絕大多數(shù)高考試題是教材習(xí)題的變式衍生。本文論述了教材試題衍生方法及衍生試題分析。

一、從特殊生長(zhǎng)到鄰近，從鄰近生長(zhǎng)到一般

從“特殊問(wèn)題”（問(wèn)題原型）生長(zhǎng)到特殊問(wèn)題“鄰近問(wèn)題”，再?gòu)摹班徑鼏?wèn)題”生長(zhǎng)到“一般性問(wèn)題”。

試題原型 設(shè)x是實(shí)數(shù)，求證：2x+2-x≥2

分析知原命題當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，即g（x）=2x+2-x-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)。從“語(yǔ)言互譯”角度命制“鄰近問(wèn)題”，形成1稿。

1稿 設(shè)x∈R，求證：g（x）=2x+2-x-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)。分析知將“a=，b=2”推廣到“01”，若g（x）=ax+bx-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則ab值依然為1。從“命題推廣”與“條件與結(jié)論互換”角度命制“一般性問(wèn)題”，形成2稿。

2稿 已知f（x）=ax+bx，其中01，g（x）=f（x）-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab值

二、組合生成，逆向衍生

將兩個(gè)或兩個(gè)以上試題進(jìn)行組合嫁接， 生長(zhǎng)成新試題。將新試題條件與結(jié)論互換，逆向衍生增加試題難度，使其具有壓軸性。

題1（蘇教版必修5教材第105頁(yè)思考運(yùn)用13（1））設(shè)f（x）=（m+1）x2-mx+m-1，若方程f（x）=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____

題1“鄰近問(wèn)題”若方程x2+（a-1）x+1-a=0有兩不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍。

題2（蘇教版必修1教材第96頁(yè)練習(xí)5）利用計(jì)算器，求方程x3=2x+1的近似解。

題2 “別解”思路 本題也可不用計(jì)算器計(jì)算，設(shè)f（x）=x3-2x-1.∵f（-1）=0∴x1=-1是方程的解.∴f（x）=（x+1）（x2-x-1）

將題1“鄰近問(wèn)題”與題2“別解”用“組合法”與“語(yǔ)言互譯”編擬，形成1稿

1稿 當(dāng)f（x）=（x+1）[x2+（a-1）x+1-a）]有3個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求a的范圍。

1稿修改 由于（x+1）[x2+（a-1）x+1-a]=x3+ax2+1-a，發(fā)現(xiàn)等號(hào)右邊三次式的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)和為1。引入?yún)?shù)c替換1，“條件與結(jié)論互換”后求c，形成2稿。

2稿 當(dāng)f（x）=x3+ax2+c-a（c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)）有3個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪（1，）∪（，+∞），求c值。

三、背景轉(zhuǎn)換，代數(shù)與幾何跨界

同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)換其呈現(xiàn)背景后，借助背景力量可改變問(wèn)題難度，也可實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何跨界，生成新問(wèn)題。

教材習(xí)題 求函數(shù)y=sin2θcosθ（0≤θ≤）最大值。試題修改：用“背景轉(zhuǎn)換法”對(duì)教材習(xí)題處理，有兩種處理方向：①處理成側(cè)棱長(zhǎng)為1，高線長(zhǎng)未知的正四棱錐體積；②處理成母線長(zhǎng)為1，高線長(zhǎng)未知的圓錐體積。為使處理情況具有一般性，將“側(cè)棱長(zhǎng)為1”、“母線長(zhǎng)為1”均改為“長(zhǎng)為a”.

（1）按處理方向①處理，形成1稿。

1稿 已知正四棱錐P-A1B1C1D1高為PO1，側(cè)棱長(zhǎng)為a（a>0），記∠A1PO1=θ（0<θ<），求其體積V最大值及此時(shí)PO1長(zhǎng)。

2稿 現(xiàn)設(shè)計(jì)一倉(cāng)庫(kù)，上部分形狀為正四棱錐P-A1B1C1D1，其側(cè)棱長(zhǎng)為a（a>0），其底面正方形中心為O1，下部分形狀為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，其底面正方形中心為O，要求正四棱柱高O1O是正四棱錐高PO1的k（k>0）倍，求倉(cāng)庫(kù)容積V最大時(shí)PO1長(zhǎng)。

2稿簡(jiǎn)析：記∠A1PO1=θ（0<θ<），V≤（+2k）a3，PO1max=acosθ=a。

2016年江蘇高考第17題為2稿特例（高考題為a=6，k=4情況）

（2）按處理方向②處理，形成問(wèn)題變式。

變式 現(xiàn)設(shè)計(jì)一倉(cāng)庫(kù)，上部分形狀是頂點(diǎn)為P，底面圓圓心為O1的圓錐，其母線長(zhǎng)為a（a>0），下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為O，要求圓柱高O1O是圓錐高PO1的k（k>0）倍，求倉(cāng)庫(kù)容積V最大時(shí)PO1長(zhǎng)。

四、衍生試題的合理性分析

①驗(yàn)證“條件與結(jié)論互換”后的合理性。如本文第一部分的推廣，通過(guò)計(jì)算與反證法論證后，發(fā)現(xiàn)“ab值依然為1”。②從代數(shù)問(wèn)題跨界到幾何，借助幾何背景命制試題時(shí)，需注意變量范圍是否受到幾何圖形限制。“實(shí)際運(yùn)用類”試題命制，為保證計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)美觀，先構(gòu)造計(jì)算結(jié)果美觀的方程或不等式。根據(jù)構(gòu)造好的方程或不等式逆推并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景，生成新試題。此過(guò)程，也需注意自變量范圍。③用“命題推廣”衍生試題時(shí)，需注意推廣是否具有合理性。④用“組合法”衍生試題時(shí)，用來(lái)“組合”的試題間需銜接自然，切忌將試題“強(qiáng)行”組合。⑤用“語(yǔ)言互譯”衍生試題時(shí)，轉(zhuǎn)譯前后試題切忌產(chǎn)生歧義。

【參考文獻(xiàn)】

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