不定積分湊微分法的問題類型

胡旭東

摘 要：湊微分法是積分運算的基石，也是積分運算的難點。如果能夠對湊微分法做分類討論，那么就可以使初學者抓住一根過河的繩子，這有利于他們迅速掌握湊微分法，為積分運算的學習打下一個堅實的基礎。

關鍵詞：不定積分 湊微分法

不定積分的運算方法包括直接積分法、湊微分法、第二類換元法、分部積分法，以及有理函數積分法等一些特定的積分運算方法。在所有的運算方法中，湊微分法是積分運算的基石，也是積分運算的難點。如果能夠對湊微分法做分類討論，那么就可以使初學者抓住一根過河的繩子，這有利于他們迅速掌握湊微分法，為積分運算的學習打下一個堅實的基礎。下面對這個問題展開討論：

一、湊微分法的本質

設具有原函數，即，，若，且可微，則由復合函數微分法有

，再由不定積分的定義有

.

定理1 設函數具有原函數，可導，則

由此可見，將湊成一個新的微分形式，再經過換元，可以將積分簡化為更易求解的積分形式，該積分方法就稱為湊微分法.

二、湊微分法的關鍵步驟

上述積分運算關鍵在于將湊成一個新的微分形式，再經過如是換元

，將積分簡化為更易求解的積分形式。

這既是計算的關鍵，又是計算的難點，初學者往往就在這個步驟上出問題。通過實際教學發現，對此步驟進行分類研究是有利于初學者掌握湊微分法的。

三、湊微分法的主要分類

1、被積函數是復合函數，則直接利用湊微分

例1 求不定積分.

分析 利用湊微分法，將微分，令，則積分變為基本積分形式.

解

2、被積函數形如，且可以湊微分。其中

例2 計算不定積分.

分析 利用湊微分法，將微分，令，則積分變為基本積分形式.

解 .

3、被積函數不屬于上述類型，即不能湊微分或能湊微分但是不能換元的情況

這種情況可以分為兩種狀態。一種是通過代數變形后可轉化為類型1或類型2的；另一種是湊微分后用分部積分法求解。

（1）通過代數變形后可轉化為類型1或類型2的

例3 計算下列不定積分：

（1） （2）

分析 （1）利用配方的代數變形，被積函數轉化為類型1

解

分析 （2）利用分式分拆為部分分式后，被積函數轉化為類型1

解 由于 ，所以

.

（2）湊微分后用分部積分法求解

例3 求不定積分 .

分析 利用湊微分，可以有，但是不能夠把被積表達式做成的形式，故湊微分后可以利用分部積分公式

解 令，

.

綜上所述，在分類的情況下，湊微分法有了一個相對完備的描述。只要在教學中堅持分類教學，就可以突破湊微分法的教學難點，使學生能都較好地掌握湊微分法。