轉動數學中的“魔環”

李風發

【摘要】圓是一種幾何曲線，它非常簡潔，而且很完美，在生活中得到廣泛運用.圓和生活密切相連，形影不離.建立于1 500多年前的趙州橋、圓形鐘表等等，這些都與圓結下了不解之緣.在高中數學的解題過程中，會經常運用到圓，把圓同其他知識巧妙地結合在一起，從而做到了化難為簡，對數學產生了濃厚興趣.這篇文章從以下幾個方面來講解圓在解題過程中的運用，掌握解題奧秘，做到迎刃而解，更加輕松地學習數學.

【關鍵詞】高中數學；解題方法；圓的妙用

一、圓在距離問題中的運用

例1和點A（1，2）的距離是1，并且和點B（3，1）的距離為2的直線l有（）條.

分析這道題如果用代數的方法解答會非常的煩瑣，而且解方程的難度非常大.這樣我們可以借助“圓”來解答這道題.

我們通過畫草圖知道到點A（1，2）的距離為1的直線有無數條，它們是以點A為圓心，半徑為1的圓的切線.同樣的道理，到點B（3，1）的距離是2的直線也有無數條，它們是以B點為圓心，以2為半徑的圓的切線.這道題所求的直線是這兩個圓的公共切線，這樣就把距離問題轉變為判斷兩個圓的位置關系的問題.通過計算，我們可以得知A，B兩個圓心間的距離為5<1+2，這就說明兩個圓的位置關系是相交關系，所以，可以得知符合條件的直線就只有兩條.

因此，把距離問題轉化為兩個圓的位置關系，就使問題變得非常簡便，使運算量和解題過程更加簡化，激發學習興趣，起到了事半功倍的效果.

二、圓在方程根問題中的運用

例2方程4-x2=k（x-2）+3有兩個不等的實根，那么k的取值是（）.

分析根據已知條件，得知方程4-x2=k（x-2）+3有兩個不相等的實根，則說明方程組y=4-x2和y=k（x-2）+3有兩個不等的解.要想這個方程組有兩個不等的解，必須y=4-x2和直線y=k（x-2）+3有兩個不同的交點.曲線y=4-x2表示的是半圓x2+y2=4，且y必須大于或等于0.而直線y=k（x-2）+3恒過點P（2，3），這樣可以非常容易求得k的取值范圍，求得取值范圍是512

通過以上的例題，我們可以看出先要對題型進行轉化，轉化為圓的兩個交點問題，這樣就使復雜的方程問題變成了簡單的圓交點問題，就會迎刃而解.

三、圓在不等式問題中的運用

例3已知，實數x，y滿足x2+y2-4x+6y+11=0，而且不等式x-y+m<0，求實數m的取值范圍.

分析首先，先對方程x2+y2-4x+6y+11=0進行變形，可以得出（x-2）2+（y+3）2=2，那么以變量x，y為坐標的點P（x，y）在以點C（2，-3）為圓心，半徑為2的圓上.不等式x-y+m<0，變形為x-y<-m，那么就只確定x-y的最大值即可.假設x-y=a，它表示的是一組平行直線，圓心到這組平行直線的距離為|2-（-3）-a|2≤2，就可以求出3≤a≤7，因此，可以得知x-y的最大值為7，故而求得m<-7，從而就求得實數m的取值范圍為（-∞，-7）.

通過這道例題可以看出，如果直接用解方程的方法去求解，會非常困難，而且會浪費很多寶貴時間.因此，可以尋找規律，把不等式轉化成圓的形式，這樣就轉化為直線和圓的交點問題，就會使問題變得簡單.

四、圓在函數最值中的運用

例4求函數y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.

分析通過仔細觀察這道題，這道題可以聯想到直線的斜率和圓的關系.這一直線過點A（cosx，sinx）和點B（2，1）這兩點，且點A（cosx，sinx）在點O（0，0）為圓心、半徑為1的圓上.假設過點B（2，1）的直線方程為y-1=k（x-2）.當這一直線和圓O相切的時候，k的值最大或者是最小.由此，|-2k+1|k2+1=1，從而求得k=0或者k=43.因此，函數y=sinx-1cosx-2的最大值為43，最小值為0.

從以上的例題，可以看出在求函數的最大值或者最小值的時候，可以根據條件進行轉換，轉化成圓和直線的關系的題型，當直線和圓相切的時候，就是最大值和最小值，從而利用圓非常巧妙的求得最大值或者最小值.

以上對距離、方程、不等式和函數最值等問題進行了闡述，這些問題在高中數學中是非常重要的知識點，在解決這些問題的時候可以聯系到一個“魔環”的影子，也就是“圓”.通過利用圓的性質以及圖形可以使問題變得非常簡便，使一些煩瑣的數學問題迎刃而解.在學習中，要充分認識到圓的重要性，發揮其重要魔力，真正掌握圓的幾何性質.所以，在解決數學問題的時候，要充分與圓相結合，使復雜的問題變得簡單形象，達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

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[2]葛益平.抓住定義，事半功倍——例談高中數學教學中圓的定義及其運用[J].中學數學，2015（19）：85-88.