不定積分換元法分類運算方法研究

王振福

【摘要】在不定積分的計算方法中，換元積分法無疑是最重要的方法之一，也是最常用的方法之一，本文主要介紹不定積分換元積分法的幾個具體方法及其應用，并對其進行整理歸納以提高教育的質量，提高學生對不定積分換元積分法的學習能力.

【關鍵詞】不定積分；換元積分法；分類運算

一、引言

在高等數學的學習過程中，換元積分法是十分重要的一環，換元積分法主要是應用于不定積分的運算中，教材中對不定積分的運算介紹的較為簡單，本文主要針對現有教材中存在篇幅較少的問題進行探究，不只是簡單地將換元積分法分為第一類換元法和第二類換元法.本文的目的就是提高學生靈活運用換元積分法來對不定積分進行運算的能力，提高學生對不同題型的運算能力，合理選擇正確的換元積分法，以免出現誤用或者不會用的情況，從而能夠提高高等數學的教學質量.

二、第一類不定積分換元法

第一類換元法也稱為湊微分法，求積分與求導有著密切的聯系，兩者之間是逆運算的關系，只要充分了解求導的細節就能夠靈活運用第一類積分法對不定積分進行運算，因此，為了將第一類換元法靈活運用，學生必須熟練掌握求導或者微分的公式及運算法則，這是學會第一類換元法必不可少的步驟.

第一類換元法的本質就是對函數進行湊微分，這也是不定積分運算中十分簡便的一個計算方法，湊微分即求導的逆運算，針對的是對復合函數進行積分時湊出所求函數的中間變量，該復合函數的形式一般表現為f[φ（x）]，其積分形式一般表現為∫f[φ（x）]φ′（x）dx，將中間變量的形式轉變為u=φ（x），通過對中間變量進行轉變可以將復合函數轉變成基本函數，從而能夠使得計算變得簡單，其具體方法如下.

∫g（x）dx=∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C（令u=φ（x））.

第一類換元法的計算方法可以將之分為四步來進行：湊微分，換元（轉變中間變量），積分，代回.在使用第一類換元法的時候需要注意一些關鍵問題.

（一）首先應該注意第一步，湊微分作為第一類換元法的關鍵部分，要求學生能夠熟練掌握基本函數的微分，在這個過程中不存在很強的規律性，這就需要學生增強對這部分知識的記憶，通過記憶將之牢牢掌握，從而能夠在運算中選擇合適的湊微分方式來進行不定積分的運算.關于湊微分大體可以分為以下幾種類型.

類型1.∫f（ax+b）dx，令u=ax+b；

類型2.∫xμ-1f（xμ）dx，令u=xμ；

類型3.∫exf（ex）dx，令u=ex；

類型4.∫f（lnx）xdx，令u=lnx；

類型5.∫f（x）xdx，令u=x.

除此之外還有很多類型的微分，學生需要靈活掌握，教師在進行高等數學的教學過程中也可以有選擇性地通過一些例題讓學生鞏固關于微分的知識.

（二）在實際的計算過程中不必要在意換元過程，因為換元只是為了讓計算變得更加簡便，不存在實質性的意義，換元的過程就是令u=φ（x），換元完成后再將u=φ（x）代回，在整個過程中φ（x）沒有發生任何變化，因此在換元的時候可以直接運用公式來進行.

三、第二類不定積分換元法

第二類換元法的手段、目的與第一類換元法并無兩樣，通過設置新的變量t來構造一個新的函數代替原有的變量x，即x=φ（t），這樣做是為了解決第一類換元積分法不能解決的運算問題，使得轉變后的積分能夠通過積分表或者積分公式來進行對不定積分的運算.

關于第二類換元法可將之分為四個方法，這四個方法能夠幫助學生快速地找到適當的換元函數x=φ（t），這四種方法分別為：根式代換法、倒代換法、三角代換法、指數代換法等.

（一）根式代換法

根式代換法主要是針對函數中存在根號的積分題型，其目的就是為了去掉根號對積分造成的障礙，具體方法就是將根號變為變量t，若函數中含有多個x的n次方根，即令x=tm，m為所有根指數的最小公倍數.

（二）倒代換法

如果被積函數中分母的冪指數高于分子的冪指數，則可以令x=1t，以使得被積函數可以利用求積分公式求出.

（三）三角代換法

三角代換法就是當被積函數中含有不同的根式時，可以采用相應的三角函數代換來使得被積函數可根據積分公式求出積分.

（四）指數代換法

若被積函數中含有f（ex）或f（ax）的式子的時候，可用f（ex）=u或f（ax）=t進行換元.

四、結論

綜上所述，第一類換元法的本質就是將復合函數替換成變量來進行積分的運算，第二類換元法的本質就是將被積函數中的變量換成合適的函數來使被積函數可以直接利用積分公式來進行積分.

【參考文獻】

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