利用“降階法”求解歐拉方程

劉慶輝

【摘要】本文通過“降階法”研究了三階非齊次歐拉方程的求解問題，給出了通解的積分形式，并通過具體例題來說明求解的方法和步驟.

【關鍵詞】歐拉方程；降階法；特征方程；特征值

【基金項目】2015年唐山師范學院教育教學改革研究項目——《常微分方程》課程教學改革的研究與實踐（2015001018）.

歐拉方程是一類很重要的變系數微分方程，對于它的求解一直是研究的重點.可以發現，對于非齊次歐拉方程的求解主要有兩種方法，但計算步驟較煩瑣，而且計算量也很大，本文以三階非齊次歐拉方程為例，通過對未知函數進行合適的變換，進而降低方程的階數，并得到其通解的積分形式，而且此方法可以推廣到更高階的非齊次歐拉方程.

定義1形如

x3y+ax2y″+bxy′+cy=f（x）（1）

的方程稱為三階非齊次歐拉方程，其中a，b，c∈R，f（x）是連續函數.

定義2形如

x3y+ax2y″+bxy′+cy=0（2）

的方程稱為三階齊次歐拉方程，且方程（2）稱為對應于方程（1）的齊次歐拉方程.通過對比可以發現，當方程（1）中的自由項f（x）≡0時，便為方程（2）.

定義3稱方程

k（k-1）（k-2）+ak（k-1）+bk+c=0（3）

為方程（2）的特征方程，方程（3）的根稱為方程（2）的特征根.方程（2）的特征根對應它的某個特解.

定理1若在方程（1）中c=0，且k1，k2滿足方程：k（k-1）+ak+b=0，則方程（1）的通解為

y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三個相互獨立的常數包含在三個不定積分中.

證明當c=0時，方程（1）變為

x3y+ax2y″+bxy′=f（x），

上式為可降階的三階方程，做函數變換，令z=y′，則上述方程等價于

x2z″+axz′+bz=x-1f（x），（4）

方程（4）的通解為z=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f（x）dxdx，

因此，方程（1）的通解為

y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三個相互獨立的常數包含在三個不定積分中.

定理2若在方程（1）中c≠0且y0（x）=xk0是滿足方程（2）的非零實特解，k1，k2滿足方程k（k-1）+（3k0+a）k+[3k20+（2a-3）k0+b]=0，則方程（1）的通解為

y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三個相互獨立的常數包含在三個不定積分中.

證明因為y0（x）=xk0是方程（1）的非零特解，做函數變換y=xk0∫udx，并代入方程（1）中，整理后可得：

x2u″+（3k0+a）xu′+[3k20+（2a-3）k0+b]u=x-k0-1f（x），

顯然方程（1）降低一階，且上式為關于u的二階非齊次歐拉方程，結合已知條件與定理1的證明可知，

u=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f（x）dxdx，

即方程（1）的通解為：

y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三個相互獨立的常數包含在三個不定積分中.

下面通過具體例題來說明如何利用定理1和定理2來求解非齊次歐拉方程.

例1求方程x3y-x2y″+2xy′-2y=2x3的通解.

解顯然，y=x是對應的齊次歐拉方程的非零實特解，即k0=1，將各系數代入

k（k-1）+（3k0+a）k+[3k20+（2a-3）k0+b]=0，

得到k（k-1）+2k=0，

解得k1=0，k2=-1，又f（x）=2x3，則根據定理2，原方程的通解為y=x∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-3f（x）dxdxdx=

x12x2-c1ln|x|+c2x+c3.

例2求方程x3y+2xy′-2x=x（x>0）的通解.

解顯然，y=x是對應的齊次歐拉方程的非零實特解，即k0=1，將各系數代入

k（k-1）+（3k0+a）k+[3k20+（2a-3）k0+b]=0，

解得k1=-1+i，k2=-1-i，又f（x）=x，則由定理2，原方程的通解為

y=xk0k2-k1∫xk2∫x-k2-k0-2f（x）dx-xk1∫x-k1-k0-2f（x）dxdx，（5）

再根據歐拉公式eα+iβ=eα（cosβ+isinβ），得到

xk2=x-1+i=x-1[cos（lnx）+isin（lnx）]，

xk3=x-1-i=x-1[cos（lnx）-isin（lnx）]，

并將其代入（5）式中，則原方程的通解為

y=x（lnx-c1cos（lnx）+c2sin（lnx）+c3）.