組合公式的推廣及應用

內蒙古呼和浩特土左旗金山學校 劉海軍

組合公式的推廣及應用

內蒙古呼和浩特土左旗金山學校 劉海軍

文章對二項式定理，組合數公式進行了深入探討，得出了一些新的性質、定理。通過對它們的恒等變形，在某些數列的求和方面進行了有效的應用，最后利用組合數學中的“查分表”法求部分和，此方法只需知道該數列的通項式，就可以求得前幾項的和，而且格式固定，便于操作。

二項式定理；組合公式；查分表

一、應用二項式定理求某些組合數的數列求和問題

所謂二項式定理，是指設n是正整數，對于一切實數x和y，有

為了討論方便，不妨把數列中的每項中的組合數之外的部分稱為該項的系數。在中，令x=1，y=1得：

公式（1）（2）（3）是三個最基本的等式，許多組合數的數列求和問題，經過適當的變形整理后，都可以利用公式（1）（2）（3）得到有效解決。

1.系數成等差數列的數列求和問題

2.系數成等比數列的數列求和問題

解：由于a1=3a2=32a3=…3nan+1=3n+1，顯然且{ai}（i=1,2，3…n+1）是以3為公比的等比數列。于是：

二、利用差分式求部分和

設任一數列h0,h1,h2,h3…hn… （9）

△h0,△h1,△h2,△h3…△hn…，

于是，數列（9）的差分序列是將每個k=0,1,2…階差分序列列成一行而得到，如下所示：

若求形如h0,h1,h2,h3…hn的和。

定理3：設序列h0,h1,h2,h3…hn有一個差分表，該表的第0條對

總之，利用二項式定理、組合公式、差分表求和，其中二項式定理、組合公式及其變形定理在求和中表現得特別靈活巧妙。使原本抽象深奧復雜的運算，看似無法求和，但是能夠通過巧妙運用這些定理及其變形得到很好的解決。而“差分表”求和的優點是格式固定，易于操作，但運算量較大，這就要求我們在學習中要善于總結，善于思考各種求和問題，要善于運用定理及其變形，使復雜問題簡單化，使求和問題得到有效解決。