對稱美在高中數學解題中的應用

江蘇省張家港高級中學 張新秀

對稱美在高中數學解題中的應用

江蘇省張家港高級中學 張新秀

羅丹說過：“生活中不是缺少美,而是缺少發現美的眼睛。”對稱美是數學美中最典型的代表之一，教學中如果能夠帶領學生去發現隱藏在數學問題中的對稱美，將能夠沖淡學生學習數學時的枯燥感，增強學習數學的興趣。在教學中，我常常在以下幾個方面培養學生在解題中感受和發現對稱美的意識：

一、運用數學圖形的對稱美尋求解題思路

圖形的對稱美常常體現在對稱軸和對稱中心。無論是一個圖形本身的自對稱，還是兩個圖形之間的互對稱，對稱軸都是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，而對稱中心則是任意兩個對稱點的中點。抓住了對稱的本質，就抓住了解題的關鍵。

例1 設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x,則f（7.5）= __________。

解析：∵f（x）是定義在R上的奇函數，點（0,0）是其對稱中心，

又∵f（x+2）=-f（x），即f（x+1）=f（-x），

∴x=1是y=f（x）的對稱軸。

∴y=f（x）是以2為周期的函數，

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5。

評析：函數奇偶性即函數對稱性，正確應用對稱性導出周期性，是解題的關鍵。

二、運用數學關系的對稱美尋求解題方法

數學中存在著很多“對稱”關系：乘冪與開方、指數與對數、微分與積分、矩陣與逆矩陣等等。利用對稱關系來構造輔助項，能得到較為巧妙的解題思路。

例2 計算p=sin10°sin30°sin50°sin70°。

解析：利用三角函數中的正弦與余弦的對稱關系，構造一個與p對稱的關系式：

設q=cos10°cos30°cos50°cos70°，則：

pq=（1/2）4sin20°sin60°sin100°sin140°=（1/2）

cos70°cos30°cos10°cos50°=（1/2）4q，

評析：這里為求p而巧設q，解法巧妙，呈現了均衡的對稱美，令人愉快。用對稱美的觀點去審題、解題，有利于培養學生的綜合能力，挖掘題目的內在規律，從而抓住本質，變難為易，輕松地解答數學題。

解析：只要在“對稱”上認真思考，就不難發現下面的簡單方法：在x上取關于對稱的兩點，如，由圖像的對稱可知，它們對應的函數值相等，從而很快得到a=-1。

評析：在數學解題過程中考慮對稱美的因素，運用對稱美思考，可啟迪人的思維，起到事半功倍的效果，有助于培養思維的深刻性。

三、運用數學思想的對稱美，尋求解題靈感

題感，就是我們常說的解題直覺，指未經過一步步的邏輯分析或無清晰的邏輯步驟，而對問題直接的、突然間的領悟、理解或給出答案的思維，通常稱之為靈感。直覺思維在問題解決中具有重要的作用，許多數學問題都是先從數與形的直覺感知中得到某種猜想，然后再進行邏輯證明的。

例4 給定半徑為R的圓，求內接于圓的面積最大的三角形。

解析：圓是最美、最對稱的平面圖形，最能填滿圓的三角形，在完美性上就必須最接近圓，因而，這個三角形必須具有最多的對稱性。故我們設想正三角形比其他三角形更能最大限度地“填充”圓。

類似的，利用對稱思想，我們還可以得出內接于圓的具有最大面積的n邊形必定是正n邊形。不但如此，我們還可以得出內接于球的具有最大體積的四面體必是正四面體等一些結論。

評析：對稱思想可以幫助我們實現猜測，增強數學預感。

運用對稱美解題是一種給人以自由感受的教育，有助于學生擺脫思維定式的影響，特別有助于學習者非邏輯思維活動的展開。教師可以根據學生的知識水平，有計劃地訓練學生從整體出發，根據數學的對稱美的特征，用猜測、跳躍的方式直接而迅速地找到答案。

除了以上的兩道習題外，像用一根“斷尺”來測量物體的長度，家里的電表、水表讀數等一些問題，都是很有針對性的一些變式。

教學實踐證明，遷移教學能有效地落實課堂素質教育，它注重“四基”的落實(“四基”只有達到一定的程度，才能有效實施遷移)和能力的培養(特別是觀察、比較、分析、動手操作、綜合概括能力)以及注意聯系生活實際，培養學生開放性、創新性思維，有利于提高課堂教學效率，減輕學生負擔，全面提高學生的綜合素質。

遷移是數學學習中的一種普遍現象。正是由于遷移，學生掌握的數學知識才能以某種方式聯系起來，并能夠在解決數學問題的過程中發揮作用。數學新知識的掌握總在某種程度上改變著已有的數學認知結構，學生對已經掌握的不同數學知識進行組合，往往可以形成新的數學知識。諸如此類的數學知識之間的相互影響，都是數學學習的遷移現象。