數形結合思想在二次函數問題中的應用

江蘇省射陽外國語學校 夏明亮

數形結合思想在二次函數問題中的應用

江蘇省射陽外國語學校 夏明亮

二次函數作為初中數學的重要知識點，是每年中考的必考點。由于二次函數易與其他知識點相融合，經常會以壓軸題的形式出現，因此也是學生比較犯難的一類題目。利用數形結合思想，將“數”與“形”巧妙結合在一起，可以將繁瑣、抽象的函數問題變得簡單化、直觀化，從而幫助學生更高效、準確地解決好函數問題。

數形結合；圖像；二次函數

解決函數問題如果單從代數的角度出發，往往會引起計算復雜、理解難等問題，而采用數形結合思想，畫出其函數圖像可以將抽象的數學問題更加直觀地展示出來，這樣不僅可以極大程度地簡化計算，也促進學生更好地分析題目。本文將通過一些實例，探析數形結合思想在二次函數問題中的應用。

一、二次函數基礎問題中的數形結合

求二次函數中的參數是二次函數基礎問題中常見的一種題型。解答該問題時，如果采用解出帶參數的根的方法進行解答，往往會使解題過程比較復雜。因此，我們可以畫出二次函數的圖像，然后通過分析圖像并結合題干所給出的條件列式計算。

解析：本題看似簡單，由題干中的條件“有兩個交點”，可想到運用即可解題，但是這樣解答就掉進了命題人的陷阱中了，因為題干中還有一個重要的條件：“在原點兩邊”，因此用該方法解答出的答案是錯誤的。通過觀察式子，發現參數是位于常數區域，即與y軸的交點，可以想到根據題干條件畫出其圖像。由圖1我們可以發現當時，就滿足了題目的條件了，從而解得故本題選擇A。

圖1

點撥：此題也可以利用求根公式將兩根求出，然后聯立不等式組解出答案，但是這樣計算量較大。而通過畫出滿足題目條件的函數圖像，即可很簡單地將問題解決，不僅可以保證解題的準確性，也提高了解題的效率。

二、二次函數應用題中的數形結合

二次函數的應用題，其在中考中考查的頻率較高。該類題型常設置的問題一般包括二次函數的表達式、求最值等，解決該類問題的關鍵是從圖像出發，根據函數圖像求出表達式，從而求出最值。

例2 如圖2所示，判斷一個高為2.8m，寬為2.4m的矩形能否穿過拱門？

解析：由題意可知，要想判斷是否能穿過，就是判斷寬為2.4m時其高是否超過2.8m。此時不妨建立如圖3所示的坐標系，此時可得，此時就可以得到函數表達式當寬為2.4m時，即點F的橫坐標分別為,將其帶入函數表達式，即可得出，，從而得出，因此物體可通過。

圖2

圖3

點撥：解決此類問題就是要利用數形結合的思想，建立合適的直角坐標系,從函數圖像入手，求出函數表達式即可解決問題。其中,在建立坐標系時需要注意的是盡量建立比較簡單的坐標系，這樣對應的二次函數也比較簡單，有助于高效解題。

三、二次函數綜合運用中的數形結合

二次函數的綜合運用涉及的知識點較復雜，其中包括二次函數、平面幾何等知識,因此，此類問題的綜合性較強，難度系數也比較高。解答此類問題需要充分利用圖形，靈活運用各部分的知識點。

圖4

點撥：此題是以二次函數為載體，其解題的關鍵在于利用二次函數的性質和相似三角形的性質。由于此類問題一般都是壓軸題，在解題初期可能會感到毫無思路，因此就要學會分析圖形，從圖像中尋找思路。

綜上所述，數形結合思想在二次函數中的應用是非常廣泛的，因此在解題中要充分運用其函數圖像并且聯系其函數表達式、函數性質，這樣往往會使難題迎刃而解。所以，在今后的學習和做題中要充分了解、學習和運用函數圖像，這樣不僅可以讓學生對數形結合思想認識得更加全面，也有助于學生數學素養的提升。