系統思維和逆推思維在高等數學中的應用探索

楊紅莉+曾憲陽

（1.南京工程學院數理部，江蘇 南京 211167；2.南京工程學院工業中心，江蘇 南京 211167）

摘要：高等數學是高?；A課程之一，其學習的核心不僅在于知識的掌握，更在于思維方式的學習。系統思維和逆推思維的應用不僅能提高高等數學學習效率，也可幫學生更好的應用高等數學知識。文中結合本人教學實踐，探索教師在教學及學生學習過程中應如何具體應用系統思維和逆推思維。

關鍵詞：系統思維；逆推思維；高等數學；教學實踐

中圖分類號：O13 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）52-0190-02

一、引言

為什么我們的學?？偸桥囵B不出杰出人才？距離錢學森之問，已俞一旬，國內教育已經取得了可喜的進步與成就。然而，尚有某些地方有待優化。正如國外某知名大學的校長所說，中國留學生們勤奮是有的，創新也不缺，可有一點，很令人感到遺憾，那就是中國留學生們，不敢質疑教授，遑論與教授爭論。質疑是科學發現的起點，古人云：“學貴多疑，小疑則小進，大疑則大進”，由此可見一斑。而令人遺憾的是，質疑精神的確為現代學生所欠缺，實際教學經歷也印證了這一點。學生們大多沉默地聽講，鮮有提出不同見解的?；诋斍斑@些現象，本文將論述兩種思維方法——系統思維和逆推思維，希望能對高校教師教學有所襄助，對莘莘學子學習有所裨益。

二、系統思維及其應用探討

通俗地說，系統思維就是將所學習的內容按并列、從屬等關系分類、歸納并總結后，創建一個知識體系。分類的過程類似于將發到手的牌按一定順序整理好的過程。對知識分類之后歸納總結的過程則仿若插花。不同種類的花，經由心靈手巧的插花人妙手撥弄，無形之中形成了一種藝術美，繽紛而又融洽。無論是教還是學，善學善思者，美甚矣。然而知識的浩瀚繁復，不由得對這種插花似的整理過程的要求高了起來。在高等數學學習過程中，稀里糊涂地規避可能的陷阱，跌跌撞撞地前進，讓很多學生感覺到深深的疲倦和勞累，遑論對高等數學這門課程產生熱愛與激情了。質疑教授乃至于與其思維碰撞產生火花，更加是不可能的了。

1.系統思維，輔助工具。系統思維最常見的表達形式有流程圖、思維導向圖等。高等數學作為數學學習的高級階段，本身也是一個有機的整體，它的各個章節或概念之間有深層且密切的聯系，使用思維導圖可以讓這些關系自然彰顯。一個最簡單的思維導向圖是“等價無窮小”什么時候易出錯，及出錯的原因。

2.系統思維，在于理清脈絡，不重不漏。高校教師們常常是根據知識點之間的邏輯順序進行備課及授課的，在講課的過程中，知識的樹從無到有，從輪廓到細節，逐步細化逐步充實。然而也正因如此，很多學生在學習過程中常會顧此失彼，有的知識掌握不牢固，甚至可能現學現忘。在講課的過程中，教師要及時了解學生的困惑，幫助學生用精煉的語句準確的表述其困惑，最終拋出問題，以引導學生們思索。我們教育工作者需要激勵學生們進一步思考，以建立一個更完善的知識體系，提高學習效率。在我們教育工作者潛移默化的影響下，學生漸漸有能力且有興趣主動思索，提出問題，乃至可以就某些知識點與教師進行持久深刻的探討和爭論。毫無疑問學習效率高的學生，往往是運用系統思維學習的佼佼者。授人以魚，不如授人以漁?，F代認知心理學家皮亞杰也認為，“教育的宗旨不在于把盡可能多的東西教給學生，取得盡可能大的效果，而在于教學生怎樣學習，學習發展自己，以及離校后繼續發展?！币虼嗽诮虒W中，除了教會學生基本數學知識外，更重要的是教學生學習方法，同時培養其創新思維能力。

3.系統思維，用于串聯章節，引導思維。教師們通過有意識的應用系統思維教學，引導學生積極主動思考，可以幫助學生及時串聯章節并作出系統的歸納。以極限為例，我們知道極限是高等數學中微分學乃至積分學中的基礎，舉足輕重，我們可以引導學生們應用系統思維把所有求極限的方法串聯起來。

三、逆推思維及其應用探討

教師在教學過程中應該善于把握理論闡述與實際應用之間的關系，盡可能讓學生們在理解理論的同時，具備解題能力和實際應用能力。而在這過程中，逆推思維有著不可取代的地位。因為不論做什么，總有可能遇到瓶頸，停滯不前。此時可以鼓勵學生先換個思路解出結果，然后嘗試反向的推理，在曾經難以寸進的地方，找出先前理解上的誤區，從而修正錯誤。這就是逆推思維，它類似于中醫學望聞問切里的望，由已經出現的征兆，推斷成因。

1.逆推思維，在于執果索因、排錯解惑。教師在平時的教學中應鼓勵學生們嘗試使用多種方法求解同一道題，讓他們體會到數學殊途同歸的美。各種方法之間優劣互補、相得益彰，就像七色花，風姿綽約，讓人移不開眼。數學的瓊包就這樣在學生的細細思索中靜靜開放，馥郁芳香。逆推思維在于執果索因，但因果之間的聯系也往往不是釣魚，一魚餌對應一條釣上的魚那般簡單。實際應用時，常有看似同類，解法各異的題目，如同有些病癥看似相同，由于其發病機理不同，用藥也當有所區別。思維訓練得到加強，解題能力自然會提高，在此基礎上，還需教師設計較多的具有啟發引導學生思維的練習，促進學生思維方式的形成。為了讓學生更好的區分易混淆的知識點，教師可以準備一些代表性的題目，讓學生對比訓練，使其在比較中學會分析，在比較中學會判斷，在比較中掌握方法。

2.逆推思維，用于理清思路。精于逆推思維的人，不僅可以從題目中看到所需的知識點、出題人的意圖，還可以舉一反三。當學生們精于此道時，便可撥開迷霧，有的放矢，不斷的成功能增強學生自信，遇到困難就不會如從前一般輕易放棄，從而構成一個良性循環。科學研究中所需要的韌性便這樣逐漸的形成。當學生根據現有知識無法解答問題時，可在矛盾問題可拓模型基礎之上找出核心問題，然后實施逆向變換，進而獲得逆向策略集，再以逆向變換引起的傳導變換的最終效應，去評價逆向策略的優劣性，最后選出滿意的策略，去解決最初的矛盾問題。

3.逆推思維，用于推理論證。逆推思維可以用來排除一些錯誤，也可以用來嘗試證明一些結論。用逆推思維來證明某個結論很好理解，至于寫推理過程時，就可以不按逆向思維來寫，以彰顯各個結論間的因果先后關系。證明題考的往往是知識的聯系與實際應用。很多同學看到答案，常常會感嘆，這題原來這么容易，自己居然沒有想出來，而悔恨懊惱。證明題是最有可能多解，也是最有可能用到多章節不同知識的題目。因此，證明題的難度較大，常放在試卷最后幾題。

在高等數學教學過程中，還可從其他方面進一步加強學生的逆向思維訓練。即，注意闡述定義的逆向使用；注意公式及定理的逆向使用；對問題的常規解法進行反向思考；注意采用反證法等。

四、結論

系統思維和逆推思維只是思維世界的冰山一角，不論我們是嘗試解決何種問題，最好能做到大處著眼，小處著手，因時制宜，因事制宜，行于所當行，止于所不可不止?？捎们业拇_大有裨益、省時省力的情況大膽使用這兩種思維，此即行于所當行；沒有必要乃至有可能阻礙目標達成時能果斷放棄，此即止于不可不止。

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