概率論教學中如何提高學生的思維能力

李年華

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

摘要：本文主要針對概率論教學中的一些問題（如學生覺得枯燥難懂、知識零散，無法提高自己的數學能力）結合自己的教學實踐，研究如何增強學生在的思維能力，特別是思維的邏輯性、系統性、靈活性。

關鍵詞：概率論；教學實踐；數學思維

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）49-0214-02

一、背景

目前一般本科院校許多專業都開設有概率論與數理統計課程，主要是因為這門課程應用很廣，數學基礎要求也低（一般只要求學過基本的微積分即可）。由于本人所帶學生大多為文科生，本文選用的教材主要是針對文科生的[1]而不是經典教材[2]。這里主要研究課程的概率論部分，主要例子為古典概型的概率和數學期望。通過這2部分內容說明如何培養學生良好的數學思維能力，增加他們學習的興趣[3，4]。

我們知道很多文科生由于種種原因對數學很排斥，他們理解的數學就是復雜計算，毫無實際應用，因此教學中我們通過自己的一些實用方法和技巧以及生活中的例子鍛煉培養學生的邏輯思維能力和應用能力，使他們在以后的工作學習中受益，這些都對對理論教學提出了很高的要求。

二、如何提高學生的數學思維能力

（一）增加學生的興趣

興趣是最好的老師，所以第一堂課我們可以舉出一些很好的故事和例子把學生引進到這門課中，而不引起他們的反感。這里我選取概率論這門學科起源的一個十分有趣的故事：“1651年，法國一位貴族梅累向法國數學家、物理學家帕斯卡提出了一個十分有趣的‘分賭注問題。這兩個賭徒說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么這個錢應該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因為最早說的是滿5局，而誰也沒達到，所以就一人分一半呢？這兩種分法都不對。正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的3/4，贏了3局的拿這個錢的1/4。為什么呢？假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個錢應該對半分。現在，A贏、輸的可能性都是1/2，所以，他拿的錢應該是1/2×1+1/2×1/2=3/4，當然，B就應該得1/4。”這個問題引入了概率論中的一個十分重要的概念—數學期望。

（二）從簡單基礎出發，為學生學習做好鋪墊

很多開始學習概率論的學生主要是大一大二學生，數學知識有限，我們需要在正式開始課程之前介紹些相關知識如排列組合。很多新時代的文科生對排列組合的知識知之甚少，第一堂課除了講解概率論起源的這個故事外我們還通過一些實用的例子說明排列組合的主要原理。這樣做的好處是學生在學習第一章中的古典概型時不會那么吃力，而且這些例子都很有趣難度適中適合鍛煉學生清晰的思路。

（三）提出問題培養學生思維的靈活性

許多學生數學學不好的主要原因是思維僵化，比如他們對數學的印象就是算算算！其實數學的含義博大精深，算只是其中極少的一部分。為了培養思維的靈活性，我以三角函數sinx的值域為例，在任何可能的定義域內，sinx的值域最大是多少？幾乎所有的學生都說是[-1，1]，而且他們深信不疑。然而我們知道顯然值域不止[-1，1]。此外還可以介紹lni等一些他們容易形成思維定式的數學知識，這樣不僅可以解放學生思維還可以極大提高他們的興趣改變他們思維習慣。

1.通過典型知識點培養學生邏輯思維能力和系統思維能力。

（1）培養邏輯思維能力最好的知識點在第一章中的求解古典概型的概率。古典概型（等可能概型）為具有以下兩個特征的隨機試驗：

①試驗的樣本空間只含有有限個元素。

②試驗中每個基本事件發生的可能性相同。

例：這里我們以一個例子說明問題。4支球隊隨機被抽入4個小組，X表示沒有球隊的小組數，求P{X=1}。

依題意事件{X=1}為一個小組沒有球隊，其他3小組都有球隊，顯然這3個小組至少都有一支球隊，因此必然有一個小組有2個球隊，其他小組只有一個球隊。我們將問題的求解分成2步。第一步確定球隊的組合即那2個在一組，其余各自一組。第二步將組合的球隊分到四個小組去。很多同學在這里理解不清，因為他們缺乏邏輯思維能力，容易多算或少算，我們可以仔細講解這個例子使他們體會邏輯思維的重要性。

（2）我們知道求隨機變量的數學期望對應不同變量有很多公式，如果不加理解很難記憶，下面我們說明如何系統的理解這些公式。

一維情形：

①離散型隨機變量的數學期望：②連續型隨機變量的數學期望：③隨機變量函數Y=g（X）的數學期望：

二維情形：此時我們有E（X，Y）=（EX，EY）。

這么多的公式如何理解和記憶呢？其實只需要記住一句話：數學期望就是某點數值乘某點概率的全部和，這個和對于離散顯然我們理解為一般求和，對于連續對應積分。這樣上述離散情形的數學期望公式顯然立即可以得到。對于連續情形，這時候某點概率為0，所以求和時我們考慮無窮小區間，以一維連續型變量數學期望為例。此時我們取任意點x所在區間為[x，x+Δx]，此區間的概率為f（x）Δx，此時我們得此區間上期望為如下形式的和xf（x）Δx然后求得即得積分運算。

參考文獻：

[1]吳傳生.經濟數學-概率論與數理統計（第二版）[M].高等教育出版社，2009.

[2]盛聚.概率論與數理統計（第四版）[M].高等教育出版社，2008.

[3]丁正軍.在概率統計教學中培養學生的思維能力[J].數學之友，2011，（4）.

[4]李順華，范玉妹.概率統計教學如何培養學生的思維能力[J].北京科技大學學報，2001，（S1）.