數學文化之數學悖論

王昭輝+許珍超+劉俊含+南華

（延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉 133002）

摘要：本文主要研究數學文化之數學悖論，從數學悖論的內涵、在數學發展史中的影響、與創新思維的聯系等多方面進行分析，并探討、實現數學文化-數學悖論的生活化。

關鍵詞：數學悖論；數學文化；數學危機；創新思維

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）49-0093-02

一、概念的界定

悖論（paradox，或者antinomy）意為自相矛盾的論點、矛盾，源于哲學與邏輯學。指看似無懈可擊但邏輯上卻導出相互矛盾結果的命題或理論體系[2]。中國古代關于“自相矛盾”的故事可以說是對悖論的一種最通俗的詮釋。數學悖論作為一種悖論，是邏輯矛盾的數學結論，指的是在數學領域無法解釋的認知矛盾。其包含的內容較為廣泛，其中包括自相矛盾的論述；對既已認同的事實或真理的誤解和反駁；形似正確的錯誤命題和形似錯誤的正確命題等等。

數學悖論有這樣一些特征。首先，數學悖論不是超乎客觀事實的憑空捏造，是人類對于客觀事物的認識。其次，數學悖論體現了思維的獨創性、跳躍性，是一種獨特創新的思維活動。再次，數學悖論的產生常常反映人類思維從不完備或者對立范疇向統一相容的過渡。這種矛盾沖突往往可以憑借新的數學規范得到解決。

數學悖論的主要形式有3種：①佯謬；②似是而非的理論；③一系列的推理看上去似乎無懈可擊，但最終導致邏輯上的自相矛盾。事實上悖論蘊含著真理，當人們突破邏輯局限，把悖論解釋清楚時，便會獲得認識上的一種飛躍，也因此使得數學文化中的悖論顯示出巨大魅力。

二、數學悖論與數學的發展

數學的發展總是伴隨著矛盾的沖突與解決，當矛盾達到頂峰乃至于撼動數學基礎時，就會呈現危機。數學危機是數學發展中危及整個理論體系的邏輯基礎的根本矛盾[3]。這種根本性矛盾能夠暴露，往往是與人們在相應的歷史條件下的認識水平有密切關系，說明在某個時期，理論體系的邏輯基礎存在局限性，從而激勵人們突破這種局限性，達到數學的新發展。

在古希臘人們對數的認識剛由自然數擴大到有理數的早期階段，畢達哥拉斯希學派的希帕索斯（大約470 B.C.）提出：等腰直角三角形的斜邊與一條直角邊是不可公度的，它們的比值不可能是整數或整數之比[4]。這一發現不僅是對畢達哥拉斯學派的學說的挑戰，同時也是對當時人們的普遍見解的極大沖擊，因此直接導致了古希臘數學理論的“危機”。這一方面促使人們進一步去了解和理解無理數的同時，另一方面引發了公理幾何和古典邏輯的誕生。同時也表明直覺、經驗未必可靠，嚴密的推理、論證才真正可靠，由此歐幾里德幾何的公理化體系以及亞里士多德的邏輯體系建立起來了。

17世紀末，微積分理論（由牛頓和萊布尼茲創立）的發現是數學史上最重要的劃時代的事件，在那個時期主要建立于無窮小分析。1734年，當時頗具影響力的英國紅衣大主教貝克萊在他的《分析學家》一書中提出：牛頓先認為無窮小量不是零，然后又令它為零，自相矛盾，并且由此產生的流數事實上是0/0，是“依靠雙重錯誤得到了雖不科學但正確的結論”，在數學史上稱之為“貝克萊悖論”[4]，引發了第二次數學危機。貝克萊對“無窮小”的攻擊，雖然是出于通過對微積分的批判達到為宗教神學作論證的政治目的，而此悖論本身確是思想方法問題，微積分的基礎不穩固是其根源所在：數學方法的形式特征和無窮小量的辨證性間的矛盾[4]。為解決第二次數學危機，柯西、魏爾斯特拉斯、康托爾等作出巨大貢獻，他們在極限理論基礎之上建立了微積分學，并進而確立了分析學基礎的邏輯次序：實數系-極限論-微積分。

17到19世紀近代數學蓬勃發展，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會（1900年）上法國數學家龐加萊（1854-1912年）甚至宣稱：“數學的絕對嚴謹性看來直至今天已經達到了”。然而，事隔不到兩年，英國數理哲學家、邏輯學家羅素（1872-1970）發表了一條令人震驚的消息：不存在所謂的絕對的嚴謹性，集合論本身自相矛盾！史稱“羅素悖論”（這一悖論又通俗化地稱為理發師悖論），形成了數學史上的第三次危機。這一次的危機不僅大大發展了數理邏輯，也促成一批現代數學的產生，形成了在本世紀初不同的數學哲學派別，這就是以羅素為代表的邏輯主義學派、以布勞威爾（1881-1966）為代表的直覺主義學派和以希爾伯特為代表的形式主義學派[5]。三大學派的數學成果表現在數理邏輯學科的形成以及它的現代分支（證明論等）的形成上。

三、數學悖論與創新思維

當然，數學危機不會只有三次，數學悖論也不止三次，只是造成重大的全局性影響的是這三次。數學悖論是在既有的數學規范中產生的認識矛盾的思維體現。回顧三次數學危機和危機的消除過程可以看出，數學悖論的這種矛盾性是推動人類思維進步的一個重要因素。因此從這個意義上可以說創新性是數學悖論的一個最重要的特征。不難發現研究這些悖論，并試圖理解、解釋某悖論時，我們的頭腦會無休止的隨之運轉，解決它的過程中，我們的邏輯思維、探索思維得到了鍛煉和提高，而這些基本素質正是創新思維所要必須具備的。創新就是要在“無中生有”，要在現有的環境中發現、找到那些隱暗藏起來的隱秘。創新思維是如今社會非常欠缺的一種素質，所以說更多地去了解數學悖論可以讓我們擁有更強的邏輯思維，提高我們的邏輯思維能力。

四、生活中的悖論

悖論絕不是惡意的無稽之談，當然也不會真正阻礙思維的發展。它的奇妙之處在于常常暗藏某種邏輯錯誤自相矛盾，難以破解。除了與數學命題相關的悖論，生活中也會有各種類型的悖論。人們時常在按照常規推理想要肯定某種論斷或某種道理時，卻又在無意中否定了它們。因此如果能夠洞若觀火，巧妙破解，也可以對悖論及悖向思維加以利用。例如在辯論賽中，如若不涉及對方自我，是很難察覺其中的悖謬，一旦牽涉到對方，那么悖論立顯。于是運用邏輯學中的二難推理方式就可以揭露對方悖論的相互矛盾，對對方的悖論進行挾制、攻擊，使之進退失據，無法自圓其說。

初中二年級有這樣一個題目。同乘一架班機的兩個陌生人A與B，A：“你住在北京？什么地方？”B：“望京”。A：“我的大學同學千玲也住那里”。B：“呀，真是太巧了，我認識她，和我是一個小區呢！”這是一個“小世界悖論”，已有統計學家對這種巧合做了研究。結果表明任選兩人，若每人平均認識一千人，則約有百萬分之一的概率他們彼此相識，而這兩人有一個共同朋友的概率約為百分之一，他們由熟人搭上關系的概率更是高達99%。這個悖論說明了人和人的朋友圈是多么緊密[6]。進而也可以解釋流言蜚語不脛而走，壞事傳千里了。

課堂上教學時，我們應該適當學習探討一些數學悖論。悖論問題具有很強的研究性和趣味性，有利于激發學習數學的興趣和熱情；有利于培養學生的發散思維、創新思維，培養學生批判的、辯證的思維方式；有利于開展多姿多彩的學習活動；有利于人們去感受、體會數學的美與和諧。

五、結語

有關數學悖論的問題和有趣的故事不勝枚舉，它們看似荒誕卻蘊含哲理。其中包含有許多讓你腦洞大開的問題，生活中當然需要有一雙善于發現的眼睛，讓我們不斷去探索，從中也可以體會數學的精確、嚴謹、和美妙。探究數學的奧妙其實是一件非常有趣又有挑戰性的一件事情。

參考文獻：

[1]顧沛.南開大學數學課程十年來的探索與實踐[J].中國高校研究，2011，（9）：92-93.

[2]趙斌.淺談數學悖論問題的探討[J].北京現代科學，2012，（5）：35.

[3]張楚廷.數學文化[M].高等教育出版社，2000.

[4]韓雪濤.數學悖論與三次數學危機[M].湖南科學技術出版社，2006.

[5]霍華德伊夫斯（Howard Eves）.數學史概論[M].哈爾濱工業大學出版社，2013.

[6]肖林.小世界的悖論[J].時代數學學習.2004，年Z1期，78-79.