小學數學“矩形面積圖示”的教學價值及教學策略

吳慧容

（仙游縣城西中心小學，福建仙游351200）

小學數學“矩形面積圖示”的教學價值及教學策略

吳慧容

（仙游縣城西中心小學，福建仙游351200）

“矩形面積圖示”是指用矩形的長、寬分別表示兩個相關聯的量，用面積表示這兩個量的積的一種幾何直觀圖示，也有人稱之為“矩形圖”或“面積圖”。它的主要教學價值在于能幫助學生辨析概念、理解算理、解決問題和培養創新思維。教學“矩形面積圖示”，一要選擇合適的教學材料，促進學生逐步形成“矩形面積圖示”的認知結構；二要經歷描述和分析問題的過程，感受“矩形面積圖示”的幾何直觀作用。

矩形面積圖示；教學價值；教學建議

“矩形面積圖示”是指用矩形的長、寬分別表示兩個相關聯的量，用面積表示這兩個量的積的一種幾何直觀圖示，也有人稱之為“矩形圖”或“面積圖”［1］。譬如，用矩形的長和寬分別表示單價和數量，用面積表示總價的多少。這種圖示的優勢在于能夠直觀地揭示出“因數×因數=積”之類的數量關系。教學中只有把握好它的特點，才能發揮出它的獨特價值。

一、“矩形面積圖示”的教學價值

（一）辨析概念

不少小學生往往會背誦卻不會應用概念，主要原因在于缺少真正的理解。引入圖示構建概念的幾何背景，幫助小學生摒棄機械的學習手段，直觀地理解概念，不失為概念教學的一種好的方法。“矩形面積圖示”作為一種幾何直觀，在幫助學生辨析某些概念時有著不可替代的作用。“乘法結合律”與“乘法分配律”是學生易混淆的兩個概念。例如125×64，通常學生把64分解為8×8，接著就錯用乘法分配律：125×(8×8)= 125×8+125×8。糾正這類錯誤，不能僅僅停留在要求學生觀察小括號里是“8×8”而非“8+8”！宜通過建立各自的幾何背景幫助學生直觀地洞察這兩個算式的不同意義。

表征“125×8+125×8”與“125×8×8”的直觀圖(圖 1、圖2)：

（二）理解算理

“算理直觀，算法抽象”是計算教學的不二法門。教學分數乘法，如果說用線段圖還好表示的話(圖3)，那么用線段圖表示就比較困難。相反，用“矩形面積圖示”幫助學生理解算理就容易得多(圖4)。可見，矩形圖在幫助學生理解算理方面具有其獨特價值。

（三）解決問題

小學階段的某些分數應用題可能會涉及兩個相關聯而又不相等的未知量，這實質上是一個二元一次方程問題。試舉一例：某大型商場上月調進洋品牌空調與國產品牌空調共1200臺。現在洋品牌空調已賣出2/5，國產品牌空調已賣出5/8，還有540臺沒有賣出。問調進的這批空調中洋品牌空調與國產品牌空調各多少臺？

由于題中的兩個分數“單位1”不同，用線段圖分析其數量關系，必須用兩條不等長的線段來表示這兩個不相等的量(因為線段圖是用線段的長度表示數量大小的)。這勢必難以從中找出這兩個部分量之間的對應關系，這是線段圖的缺陷所在。相比較線段圖而言，“矩形面積圖示”則容易表征出這類問題的數量關系：構造兩個長相同而寬不同的矩形并拼成一個大矩形，兩個大小不同小矩形的面積分別代表“兩個不同的部分量”。從而容易從中發現兩個不相等的部分量之間的對應關系，為分數應用題的化歸提供了解題線索。以解決本例談問題為例，在矩形圖中添加如圖5中的虛線，標明已知條件，并在“沒有賣出的部分”上面涂色或畫虛線。如此，解題思路一目了然：

2.720-540=180（臺）（利用矩形圖的面積關系求出小矩形a表示的空調臺數）

4.1200-800=400（臺）（洋品牌空調臺數）

一旦畫成了矩形圖(見圖5)，相對繁瑣的應用題都可以轉化成較為簡單的求面積問題。可見，“矩形面積圖示”還是一個解決數學問題的工具。借助這個工具，能把一些復雜的、抽象的數學問題歸結為一類容易解決或已經解決的問題，從而獲得解決原問題的答案。

（四）培養創新思維

創新需要可靠的直覺，因為“邏輯用于證明，直覺用于發現”。［2］數學直覺雖然來自主體的潛意識，但是能夠在后天自覺的訓練中得到培養和提高。“矩形面積圖示”作為一種直觀背景和幾何形象，能夠幫助學生在解決某些問題時提供數學思考和直觀洞察的機會，具有培養學生數學直覺思維的價值！

以下面的“問題解決”為例：

某班級女生的平均體重是26千克，男生的平均體重是32千克。女生人數是男生的一半。求全班學生的平均體重。小東用男生的平均體重32千克，女生平均體重26千克的和去除以2，得到29千克。他的方法對不對，為什么？

分別有學生用不同方法，證明小東的解法是錯的:

第一種：用假設法，假設男生、女生各有若干人，譬如女生10人，那么男生就是20人。然后用常規列式：（32×20+26×10）÷（20+10）=30（千克）；

第二種：考慮極端情況，即如果女生只有1人，那么男生就有2人，這樣列式：（32×2+26×1）÷（2+1）=30（千克）；

第三種：通過幾何直觀，對事物本質有一種直接洞察：①32-26=6（千克）；②26+3+1=30（千克）。

頭兩種方法容易理解，第三種方法的列式明顯具有跳躍性和簡約性。該學生先構建矩形圖，發現移多補少后有剩余，證明小東的方法是錯誤的。見圖6：

再二次移多補少，跳躍思考簡約思維過程，快速地找到正確的答案，見圖7：

顯然，這個學生在某個程度上具有某種數學上的直覺和想象力，包括幾何直觀能力，能夠根據所面對的問題的本質或特點，提出合情的、富有創見的解決問題的方法與策略。

二、“矩形面積圖示”教學策略

與教學其他數學內容一樣，“矩形面積圖示”應該緊緊圍繞“教什么”與“怎么教”這兩個方面教學。圍繞“教什么”，必須選擇合適的內容作為學習材料；圍繞“怎么教”，必須選擇有利于提高學生幾何直觀能力的教學方式。

（一）選擇合適的教學材料，促進學生逐步形成“矩形面積圖示”的認知結構

心理學告訴我們，數學認知結構在學生頭腦里是呈板塊結構的，呈板塊結構狀態的數學知識既便于儲存，又便于提取。［3］那么，我們應該怎么教學，才能促進學生在頭腦里將所掌握的“矩形面積圖示”的知識形成系統，組成相應的板塊呢？筆者在實踐中發現，通過“矩形面積圖示”的知識“模塊”作為教學材料，引導學生去發現規律、遷移應用往往事半功倍。

例如，解決問題：一塊長方形鐵板，長17厘米，寬13厘米，如果長裁剪2厘米，寬裁剪3厘米，面積比原來減少了多少平方厘米?

如果有可資利用的學生的錯誤資源：3×2=6(平方厘米)，那么筆者就會請水平高的學生幫忙：“請你想個辦法讓他自己發現答案是錯誤的！”如果沒有這樣的資源，那么筆者就請會做題的學生上臺講講：“你們都想想辦法，讓別人一眼就能看出答案是正確的！”這兩種做法，一般都能激發學生自發地畫出直觀圖竭力地去發現或證明(圖8)：

一般地，學生會寫出這樣的算式：17×13-(17-2) ×(13-3)。這時，筆者會追問：“根據圖形的面積關系，你還能想出哪些解決問題的方法？圖形的直觀性啟迪學生再列出下面算式：

1.17×3+(13-3)×2；

2.13×2+(17-2)×3；

3.(17-2)×3+(13-3)×2+3×2.

然后，出示一組變換情境后的“命題鏈”，并引導學生通過比較、聯想，將有關知識簡約化、模塊化、集成化，進而把數學的“知識結構”內化為個體的數學“認知結構”。

1.下洲村有一個長方形魚池，長17米，寬13米，因為擴寬道路的需要，魚池的長要減少2米，寬要減少3米。魚池的面積比原來減少了多少平方米?

2.樂樂音樂廳原來排列13排椅子，每排17座。因為擔心過分擁擠，業主打算不但少放3排椅子，而且每排少放2座。這樣總共減少多少個座位？

3.下洲小學原計劃到商店購買17副單價13元的乒乓球拍。后來體育組組長發現網購同類球拍每付便宜3元，于是決定改為網購并少買2付。這樣一共為學校節省了多少元？

這是應用命題聯想系統思想構思的四道數學練習題(含例題)。雖然情境各異，但是幾何背景完全相同，所蘊含的數量關系也毫無二致，都可以抽象為：“因數變化后的兩積之差”。相信學生采用這樣的模塊練習，由此及彼、由表及里、由淺及深，融會貫通，對“矩形面積圖示”的認識也會深刻不少。

（二）經歷描述和分析問題的過程，感受“矩形面積圖示”的幾何直觀作用

“矩形面積圖示”是一種幾何直觀。所謂的幾何直觀是利用圖形描述和分析數學問題，憑借圖形對研究對象進行數學思考的一種能力。如果這樣的理解大體正確的話，那么“矩形面積圖示”的教學重心就應該明確地落在借助“矩形面積圖示”表征問題的過程以及表征之后的反思與頓悟上，而不僅僅給予學生一個解題的工具。

舉例說明：教學“兩位數乘兩位數的趣味計算”。這是筆者在教授人教版第六冊期末復習“兩位數乘兩位數”特意增加的內容，目的在于幫助學生進一步打通了形象思維與抽象思維之間的“數學通道”，理解算理，培養學習興趣。教學過程是這樣的：

1.出示問題：一塊長方形的菜地長32米，寬23米，這塊菜地的面積是多少平方米？題目不難，這是因為把教學重點放在尋找計算的方法上，而不是求面積問題上。

2.當學生列出“32×23=”后，提出要求：“計算前，大家先估一估，這塊菜地有多少平方米？”一般地，出現以下三種估算結果：

◆32≈30，30×23=690

◆23≈20，32×20=640

◆32≈30，23≈20，30×20=600

追問：與精確結果相比，你估算的結果是偏大了，還是偏小了？畫出長方形圖，在圖上把估算之內部分與估算之外的部分劃分開。

3.精確的計算結果應該包含估算在內的和未估算在內的兩個部分。把這兩部分合并起來就是題目所要求算出的答案，用豎式怎么算呢？學生用豎式計算后，出示“圖9”，再追問：豎式中的“64”表示多少？你能用這個“長方形面積圖形”解釋每一步的結果嗎？通常學生會這樣解釋:用圖中的“③+④”作為第一層的積，用圖中的“①+②”作為第二層的積，兩層積之和就是“32×23”的積。

4.繼續追問：分別合并圖中的“③與④”“①與②”，我們發現了“兩位數乘兩位數”的豎式通用計算方法。如果換一種合并，那么你們能找到豎式計算的新方法嗎？學生分組討論后交流：“①與④”合并，“②與③”合并，用豎式表示就是圖9所示那樣。抽象算法“頭乘頭，尾乘尾，交叉相乘加一加”后，做鞏固練習“75× 43=”“56×54=”，熟悉新算法。

歸納起來，就是先讓學生列式、估算求近似值，并主動“劃分長方形的面積圖”表示估算之內與估算之外的部分，經歷用圖示表征、解釋通用算法的過程。再利用圖形特征，讓學生反思并實踐“換一種圖形組合，找豎式計算新方法”。不少學生能頓悟出新的算法這一教學效果證明：只有溝通圖形表征、算式表征與計算方法之間的聯系，才能獲得幾何直觀的能力。反之，學生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得幾何直觀的能力。

“矩形面積圖示”通過作矩形圖來展示乘積問題各部分之間的關系來幫助學生理解問題、提高解決數學問題能力，是一種形象的數學模型方法。它在打通形象思維與抽象思維之間的“數學通道”，培養學生幾何直觀能力方面具有獨特的價值和作用。對此，我們應有一個正確的認識，應在適當的時候滲透“矩形面積圖示”教學，拓展幾何直觀的時空，提高學生分析和解決問題的能力。

［1］曹培英.小學數學問題解決的教學研究（四）［J］.小學數學教育，2013（10）.

［2］周林.學家論方法［M］.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1985.

［3］光樹.數學認知結構［J］.小學數學教育，2001（1/2）.

G633.6

A

1673-9884(2016)06-0062-04

2016-06-04

吳慧容（1968-），女，福建仙游人，仙游縣城西中心小學高級教師。