讓數學課堂成為師生向往的樂園
——從一堂習題課教學中找策略

●陳曉明

(寧國中學 安徽寧國 242300)

?

讓數學課堂成為師生向往的樂園
——從一堂習題課教學中找策略

●陳曉明

(寧國中學 安徽寧國 242300)

高中數學課堂普遍存在著一種現象：教師講的多，學生聽的多；教師展示的多，學生看的多；教師自問自答的多，學生隨聲附和的多；關鍵點、難點被教師直接點破的多，導致學生似懂非懂的多.這種現象產生的直接結果是：課堂上學生仿佛都能聽懂，課后自己真正會做的少[1]．于是，“教師教得辛苦，學生學得痛苦”!

如何讓數學課堂成為師生向往的樂園，筆者以一堂習題課教學為例,以期拋磚引玉，尋找解決問題的策略．

在本學期高三一輪復習中遇到了下面一個題目，筆者首先在黑板上出示該題：

題目 設集合A={x|x2+2x-3>0}，集合B={x|x2-2ax-1≤0,其中a>0}．若A∩B中恰含有1個整數，則實數a的取值范圍是______．

(讓學生充分思考，教師在班里巡視．)

許多學生易得到：

A={x|x2+2x-3>0}={x|x<-3或x>1},

B= {x|x2-2ax-1≤0,其中a>0}=

(這時在班上筆者通報了這種情況．請問誰來分析一下對這個題目你是怎么想的？不一會兒有學生舉手了.)

生1：要求a的范圍，肯定要根據條件“A∩B中恰含有1個整數”，先要求出A∩B，但我求不出A∩B，因為B中含有字母．我想可能要分類討論.

師：要求A∩B，關鍵在哪里？

師：你會比較嗎？

這時筆者在班上大聲問到：誰能幫個忙，判斷出它們2個的大小關系？

(不一會兒，有學生舉手了．)

顯然

因此

這時，有學生插嘴說：因為

所以

圖1

從而

解得

師：那你說說看．

生3：

師：你太有才了！竟然想到了分子有理化！

(給學生充分的思考時間，學生們的智慧是不可限量的！這時，也許是表揚生3后激發了大家的斗志，又有學生舉手了．)

生4：我的解法與眾不同，我根本就沒有解集合B中的不等式．

令f(x)=x2-2ax-1(其中a>0),設2個零點分別為x1，x2，且x1<0

由A={x|x<-3或x>1}知，若“A∩B中恰含有1個整數”，則該整數只能為-4或2．

1)若該整數為-4，則由題意知

即

解得

這與a>0矛盾．故該整數不可能為-4．

2)若該整數為2，則由題意知

即

解得

由1)，2)可知，該整數只能為2．

師：真沒想到，不解集合B中的不等式，也能求出a的范圍.本題實質上是用了零點存在性定理，一個完全不同的視角！請大家比較一下這2種方法的優劣．

(學生們眾說紛紜．這時班上有名的“數學王子”站起來了，他的想法一直都很獨特．)

師：很好的變式拓展，學數學就要這樣！

(講到這兒，筆者發現數學課代表早已舉起了手．)

生6：我覺得生4的解法可簡化．

由前面分析可知，這個整數只能為-4或2．

1)若該整數為-4，令

f(x)=x2-2ax-1(其中a>0)，

因為f(x)=x2-2ax-1(其中a>0)的對稱軸x=a>0且左零點x1應滿足x1∈(-5,-4]，所以右零點應滿足x2>4．

這樣A∩B中就不僅有1個整數了，至少有3個整數：2，3，4．故這種情況不成立．

2)若該整數為2，則由x1x2=-1<0，知正根x2必在[2,3)內，因此

即

解得

由1)，2)可知，該整數只能為2．

(看到別人在改進方法，一向比較內斂的生7突然舉起了手，看來他也想展示一下自己的數學天賦.)

解得

師：還是你的方法最簡單！我們就要像生7這樣學數學：敢于挑戰自己，不迷信權威,這樣就能創造奇跡！

(生7聽后露出了以前我們從來沒看過的笑容.)

筆者想起葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程．”[2]美國著名數學教育家波利亞也曾說：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”．[3]當然，要做到這點，首先教師對試題本身要有深入的研究；其次，對學生的課堂參與要給予足夠的激勵和引導．把課堂還給學生，注意傾聽他們的聲音，點燃他們的思維之火，讓數學課堂成為師生向往的樂園！

[1] 陳曉明．數學課堂有效教學的關鍵：把課堂還給學生[J]．數學教學研究，2015(7)：15．

[2] 陳曉明．數學課堂有效教學的關鍵：把課堂還給學生[J]．數學教學研究，2015(7)：18．

[3] 于世章．挖掘課本習題價值上好復習課[J]．數學通報，2014(12)：36．