一道調(diào)考試題的5種解法

●李紅春

(黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

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一道調(diào)考試題的5種解法

●李紅春

(黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

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這是湖北省武漢市2015屆高三月考的一道試題，是選擇題中的把關(guān)試題.從學生反饋來看，此題難度頗大.考試中做對的學生普遍采用的是“篩選法”，具體如下：

如果該題是填空題或解答題,又該怎么辦呢？下面筆者給出5種解法，以饗讀者：

顯然m=-1是方程2m4+4m3-10m-8=0的一個根，從而

2m4+4m3-10m-8=

(m+1)(2m3+pm2+qm-8)=0,

分別比較等號左、右2邊的三次項和二次項系數(shù)，可知

即

于是 2m4+4m3-10m-8=

(m+1)(2m3+2m2-2m-8).

設(shè)g(m)=2m3+2m2-2m-8，其中m∈(-∞,0)，則

g′(m)=6m2+4m-2=2(3m-1)(m+1).

當m∈(-∞,-1)時，g′(m)>0,g(m)遞增；當m∈(-1,0)時，g′(m)<0，g(m)遞減，從而

g(m)≤g(-1)=-6<0，

于是當m∈(-∞,-1)時，L′(m)<0，L(m)遞減；當m∈(-1,0)時，L′(m)>0，L(m)遞增，故

從而

則

圖1

即

2y0=x0(x0-2)2.

即

觀察該方程可知x0=1是方程的一個根，用待定系數(shù)法方程可變形為

點評 解法1、解法2的共同點是首先要能觀察出高次方程的一個根，然后用待定系數(shù)法將高次方程進行因式分解，再構(gòu)造函數(shù)借助導數(shù)證明其余的因式一定非零．解答過程計算量較大，在緊張的考試氛圍中對學生確實是巨大的挑戰(zhàn)！

解法3 設(shè)點P(x,y)，則

解法4 設(shè)點P(x,y)，則

(x2+y2) (16+4)≥(4x+2y)2=(-4x-2y)2=

點評 解法5通過合理配湊，先后靈活運用柯西不等式和均值不等式放縮，簡潔地將最值求出.可謂自然天成，解法之妙，讓人回味無窮，或許這正是不等式的魅力所在！

本文是云南省曲靖市教育局、曲靖師范學院教育科學規(guī)劃課題(項目編號：QJQSKT2015001)的研究成果之一.