一道高考模擬題的教學實錄及反思*

●何洪標 藍云波 黃偉寬

(興寧市第一中學 廣東興寧 514500)

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一道高考模擬題的教學實錄及反思*

●何洪標 藍云波 黃偉寬

(興寧市第一中學 廣東興寧 514500)

習題課是數(shù)學教學的一種常見課型，特別是高三的課堂教學，習題教學幾乎貫穿整個高三復習的始終.我們經(jīng)常會看見這樣一種情景：一大群莘莘學子忙忙碌碌，整日游弋在題海中，做的題集鋪天蓋地，但效果卻并不見佳.究其原因，他們只是在模仿、記憶做題，并不會思考和分析問題，對一些重要的知識點和解題思想缺少經(jīng)歷和內(nèi)化的過程；對他們而言，解題僅僅是簡單的操作層面的機械模仿.因此，習題教學的高效性顯得尤其重要.筆者結(jié)合高三復習課“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”的教學設計，談談習題教學的有效性并提供一些方法，供同行參考.

1 教學實錄

1)求a的值；

2)若對任意x∈[1,+∞)，f(x)≤m(x-1)恒成立，求m的取值范圍；

(2013年山東省濟南市二模理科數(shù)學試題)

上課之前，筆者把該題作為作業(yè)布置給學生，讓學生認真探究、分析及解答，并要求及時上交.通過批改作業(yè)，筆者獲悉了學生答題的詳實情況，并掌握了大量的教學素材,為課題教學的順利進行奠定了基礎.

1.1 關愛差生，共同參與

師：同學們，這是之前布置的一道習題(多媒體投影出該題).從批改情況來看：絕大部分同學都能做對第1)小題，不少同學能做對第2)小題，只有少數(shù)同學能完成第3)小題.下面讓我們一起進入此題的探索之旅.先請生1說說，你對此題的第1)小題是怎么思考的？

(由于第1)小題較為簡單，筆者提問了一位基礎較為薄弱的學生.)

生1(并不自信，回答起來有點慌張)：先求導函數(shù)，結(jié)合切線與直線2x+y+1=0垂直，然后利用導數(shù)的幾何意義求解(說完有點不好意思).

教師及時投影出生1的解答過程：因為

所以

f′(1)=1+a,

師：生1的思路清晰，其他同學都認同上述解法嗎？

(此時，筆者觀察到好幾個學生躍躍欲試，但筆者提問了其中一位同樣基礎不是很好但做對了此題的生2.)

師：生2的解答非常漂亮！生1的思路是正確的，同樣值得肯定！可惜生1求導法則用錯了，細節(jié)沒有處理好，這是我們需要警惕的.一旦前面出錯了，后面洋洋灑灑的解答也就變得毫無意義了.

1.2 發(fā)散思維，共同探究

美國著名的心理學家吉爾福認為:創(chuàng)新性思維具有流暢性、變通性和獨創(chuàng)性的特點.而發(fā)散思維是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的重要手段.在教學中應鼓勵學生從不同角度出發(fā)，得出不同的解法.

師：請生3說說你對第2)小題的看法.

師：生3遇到的解題瓶頸也是不少同學的共同問題，不過思路是自然的，能不能改進呢？或者有無其他的思路呢？

師：做不下去的原因是什么呢？

學生(齊聲)：導函數(shù)越求越復雜.

師：大家都發(fā)現(xiàn)了這個問題，這是我們利用導數(shù)研究函數(shù)問題中常遇到的一個比較棘手的問題.既然如此，能不能通過等價轉(zhuǎn)化，讓導函數(shù)越求越簡單呢？

生5：可以把lnx分離出來，再構造函數(shù).

教師投影出生5的解答過程：由第1)小題知

對任意x∈(1,+∞)，要使f(x)≤m(x-1)成立，即

①若m≤0，g′(x)>0,g(x)≥g(1)=0,這與題設g(x)≤0矛盾.

師：太漂亮了！生5的解答有效地解決了導函數(shù)越求越復雜的問題.導函數(shù)原先之所以越求越復雜，是因為lnx與其他式子結(jié)合在一起，而生5把lnx分離出來之后再構造函數(shù)，達到了我們所希望的效果.太棒了！為了區(qū)別于分離參數(shù)法，我們能不能給這種技巧一個適合的名字呢？

學生(幾乎是齊聲)：分離函數(shù).

師：太貼切了，我們有分離參數(shù)的技巧，現(xiàn)在又有一種分離函數(shù)的技巧了，太棒了！以后我們在解答含有l(wèi)nx或ex的函數(shù)問題，遇到導函數(shù)越求越復雜時，不妨考慮使用這種技巧.還有其他不同的見解嗎？

生6：受此啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)生3的思路可以繼續(xù)做下去.

師：請繼續(xù)分析……

此言一出，眾生立即興奮起來，奮筆疾書.筆者發(fā)現(xiàn)生7的解答不錯，距離答案僅一步之遙，這正是筆者所希望看到的.教師投影出生7的解答過程：

設h(x)=-x2lnx-lnx+x2-1，則

師：現(xiàn)在請生7分析一下你的解題思路.

生7：求出g′(x)之后，我發(fā)現(xiàn)整個式子比較復雜，聯(lián)想到剛才老師所說的“局部求導”，故我想到只需確定分子的符號即可，于是進行“局部求導”，但“局部求導”之后，還是比較復雜，但與原來的式子相比較簡單了一些，于是進行了多次求導.我發(fā)現(xiàn)整個推理過程無誤，但不知為何做不出答案，因為g(1)無意義.還請老師明示.

師：非常有想象力，太棒了！你的思路沒問題，很多高考題都是多次求導解答的，只不過適合此解法的高考題中，端點值是有意義且能求得出的，而這道題中的g(1)是無意義的，因為分母為0.但它的極限值卻是存在的，解答這個問題，需要用到高等數(shù)學中的洛必達法則.我們了解下即可，有興趣的同學課后可與老師交流.

師：這樣，我們通過第2)小題的分析和探究，得到了解決有關函數(shù)問題的重要思想與技巧：分離參數(shù)、分離函數(shù)、局部求導、多次求導.希望同學們用心體會，并吃透其中的思想方法.正所謂：題不在多，經(jīng)典則靈！

此時，筆者往講臺下一望，發(fā)現(xiàn)學生們歡呼雀躍，仿佛發(fā)現(xiàn)了新大陸，大有進一步探究發(fā)現(xiàn)的欲望.于是筆者引導學生進行第3)小題的解答.

1.3 提升理解，類比推廣

師：現(xiàn)在請生8說說你的解題思路.

累加可得

即

師：非常好！你是如何想到的呢？

師：如果沒有前面第2)小題的提示，直接做第3)小題，該怎么辦呢？

筆者剛拋出這一問題，課堂上的學生頓時樂開了花，不少學生異口同聲驚呼：原來不用第2)小題也能做出此問題！

師：其他同學有好的解決方案嗎？

師：很好！通過大家的分析和探究，原來壓軸題是這樣命制得來的，只不過在此基礎上再加入了參數(shù).這樣，我們通過第3)小題的分析和探究，得到了和型數(shù)列不等式證明的一種通法，即轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項大小的比較，希望同學們好好理解.

師：現(xiàn)在提出另外一個問題——數(shù)列積型不等式.偉大的科學家開普勒說過：我珍視類比勝過一切，他是我最信賴的主人，他了解自然的所有秘密.下一節(jié)課我們將研究這一類型的解法，同學們課后嘗試解答下列這道試題：

此時下課鈴聲響了起來，看著學生們繼續(xù)探究的熱情，筆者深感欣慰.第2天，生7興奮地展示了他的解答：

顯然當n=1時也成立.因此，原題即證

只需證

即證

亦即證

顯然上式成立，從而

2 教學反思

1)教師在課堂教學時，要注重教學的有效性，注重典型例題的選取，要在充分了解學生學情的基礎上開展課堂教學.避免在教學過程中，理想與現(xiàn)實之間的矛盾，做到心中有數(shù)、因材施教.這就要求教師在教學之前做大量的工作，如了解學生的基礎、激發(fā)學生的學習熱情、發(fā)現(xiàn)學生理解的難點、預設各種教學場景等等.

2)在科學的教學設計基礎上，要注重學生的參與，讓各類學生都參與到課堂教學的各個環(huán)節(jié)當中去.如本文所講評的這道試題，雖然是一道壓軸難題，但第1)小題入手容易.教師應多注重學困生信心的提升，多鼓勵他們參與到課堂教學中去，使得學生們能感受到教師的關心，并能成長起來.同時應多與中等生互動，因為他們的想法代表了大多數(shù)人的想法，能暴露問題癥結(jié)的所在；他們的問題是課堂教學中最需迫切解決的問題.通過暴露癥結(jié)，并通過教師的合理引導，激發(fā)優(yōu)秀生大膽猜測、質(zhì)疑、探究，并通過努力使問題得到解決.這就要改變教師“一手包辦、填鴨式”的教學方法，教師應注意創(chuàng)設問題情境，提出富有引導性和挑戰(zhàn)性的問題讓學生思考、討論和探究，應呈現(xiàn)數(shù)學知識與方法的生成、發(fā)展、內(nèi)化和升華過程，使學生在教師的引導下，了解問題解決的來龍去脈，并達到“舉一反三，觸類旁通”的教學效果.

3)教師要通過典型的案例，引導學生進行總結(jié)，特別是數(shù)學思想方法、解題技巧方面的總結(jié).在課堂教學實踐中，要有“授人以魚，不如授人以漁”的理念.如筆者通過第2)小題的講解，點撥學生總結(jié)了導數(shù)問題中的慣用處理手法，如：分離參數(shù)、分離函數(shù)、局部求導、多次求導.再如通過第3)小題的講解，總結(jié)出解答一類數(shù)列和型不等式的通法，即轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項大小的比較，然后再通過類比，引導學生探究數(shù)列積型不等式問題的解決.教師要意識到學生數(shù)學思想的發(fā)生、生成、內(nèi)化和升華過程的重要性，不可一手包辦，要讓學生在共同探究中解決問題.教師要意識到學生數(shù)學思想的提升是細水長流的過程，不能急功近利，要使學生的能力在長期地接觸與體會中得到升華.這就要求教師要有較強的業(yè)務能力，不斷地進行學習與交流，才能在教學中做到游刃有余.