一道常見數列題引發的思考

●劉其梅

(霍邱縣第一中學 安徽霍邱 237400)

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一道常見數列題引發的思考

●劉其梅

(霍邱縣第一中學 安徽霍邱 237400)

數列是高中數學的重要內容，雖然經歷了多次課改，但它在高中數學中的地位從未動搖，在高考中所占的比重一直都較大.因為與數列有關的題目尤其是大題，綜合性較強，難度較大，所以很多學生都懼怕數列題.若能掌握一些解決技巧，則能使題目簡化，使運算簡潔優美，從而大大提高了解題速度.

筆者從一道常見數列題求和的角度，引發不被人們所關注的數列——常數列的思考，探尋常數列在解多種題型中的巧妙應用，感受其優美.

例1 數列{an}滿足an=n·3n，求數列{an}的前n項和Sn.

解法1 由Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,知

3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1.

2個式子相減可得

-2Sn=1·3+1·32+1·33+…+1·3n-n·3n+1,

從而

解法2 因為an=n·3n，所以Sn-Sn-1=n·3n，經配湊可得

故

解法1是我們常用的一種方法——錯位相減法，該解法計算量較大，過程較繁雜，在應用的過程中容易出錯.解法2通過配湊后得到一個常數列，利用常數列各項都相等的特點很輕松就得到了數列{an}的前n項和.因此，只要掌握了“配湊”技巧，解法2明顯優于解法1.通過本例，讀者是不是與筆者一樣看到了常數列的神奇，是不是也喜歡上了它？下面筆者從4個方面闡述常數列在解數列題中的神奇妙用.

1 常數列在數列求和中的妙用

分析 仿照例1的解法，構造常數列來解決此題的求和問題，難點在于如何“配湊”，可嘗試用待定系數法進行配湊.

2個式子比較可得

等式2邊比較可得a=-4,b=-10，于是

故

此題中用待定系數法解決了“配湊”這一難題之后，就可以借助神奇的常數列，把復雜的數列求和問題轉化為簡單的求和問題，從而減少了運算量，降低了出錯率.

例3 數列{an}滿足an=n2·2n，求數列{an}的前n項和Sn.

分析 此題中2n前面的數為n2，因此在配湊時要注意2n前面的數的次數不再是一次而是二次.

解 因為an=n2·2n，所以Sn-Sn-1=n2·2n，將其配湊變形，可設

Sn-(an2+bn+c)·2n+1=Sn-1-[a(n-1)2+b(n-1)+c]·2n，

可得

(an2+bn+c)·2n+1-[a(n-1)2+b(n-1)+c]·2n=n2·2n,

化簡得

(an2+bn+c)·2-[a(n-1)2+b(n-1)+c]=n2.

等式2邊比較可得a=1,b=-2,c=3，從而

Sn-(n2-2n+3)·2n+1=Sn-1-[(n-1)2-2(n-1)+3]·2n，

于是數列{Sn-(n2-2n+3)·2n+1}是常數列，因此

Sn-(n2-2n+3)·2n+1=S1-(12-2·1+3)·21+1=-6，

故

Sn=(n2-2n+3)·2n+1-6.

2 常數列在求數列通項公式中的妙用

“已知數列的遞推公式，求數列的通項公式”是難點，解決此類問題往往需要較強的觀察分析力，找出遞推公式的特點，剖析其中的關系.而在解題過程中，若能應用好常數列，則能事半功倍，優化解題.

解法1 已知條件可轉化為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.又an+1+an>0，則

(n+1)an+1-nan=0，

從而

(n+1)an+1=nan，

對于本題的解法，平時我們往往用的是“累乘法”：

姑且不問這2種解法哪種更簡潔，但顯然解法1給我們耳目一新的感覺,在解法1的解題過程中，只需觀察出數列是常數列后，一切問題都迎刃而解了.

an+1-ln(n+1)=an-lnn，

從而數列{an-lnn}為常數列，于是

an-lnn=a1-ln1=2，

故an=lnn+2.

同例4一樣，該題平時解決的主要方法是“累加法”：

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)]，

化簡得

an=lnn+2.

從例4和例5可以看出，平時用“累加法”、“累乘法”解決的問題，也能通過構造常數列來解決，而且過程顯得更加簡潔.下面繼續來看常數列在求通項公式中的應用.

例6 在數列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，求數列{an}的通項公式.

故

an=2n+1-1.

解得λ=1，從而

例7 在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+1，求數列{an}的通項公式.

解 因為an+1=2an+2n+1，2邊同除以2n+1，得

此式可變形為

2個式子比較可得

解得λ=2,μ=3，從而

因此

an=3·2n-2n-3.

本題的方法可用來解決形如an+1=pan+qn+m(其中p,q,m為常數)型求通項問題.

例8 在數列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n，求數列{an}的通項公式.

解 因為an+1=3an+2n，2邊同除以3n+1，得

此式可變形為

2個式子比較可得

解得λ=1，從而

本題的方法可解決形如an+1=pan+qn(其中p,q為常數)型求通項問題.

其實，在已知數列的遞推公式求數列通項公式的過程中，我們可以觀察數列的遞推公式，注意數列第n項和第n+1項的聯系和差異，對數列的遞推公式進行變形，使含有an組合數列的第n項和第n+1項相等，即構造出常數列，求出常數列的通項公式后即可以巧妙地求出an.

3 常數列在證明恒等式中的妙用

解 構造數列{an}，使

從而

例10 求證：(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(其中n∈N*).

從而數列{an}為常數列，故an=a1=1.

4 常數列在解有關數列選擇題、填空題中的妙用

例11 在等差數列{an}中，若a4+a6=12，Sn是數列{an}的前n項和，則S9的值為

( )

A.48 B.54 C.60 D.66

解 因為a4+a6=12且{an}為等差數列，所以a5=6，因此可設{an}為常數列.可取an=6，則S9=9·6=54.故選B.

例12 已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，則a10=

( )

A.1 B.9 C.10 D.55

解 若設數列{an}為常數列，且an=1，則Sn=n,Sm=m,Sn+m=n+m，有Sn+Sm=Sn+m，滿足題意，從而a10=an=1.故選A.

例13 在等比數列{an}中，a1=2，前n項和為Sn，若數列{an+1}是等比數列，則Sn=______.

解 因為數列{an}為等比數列且數列{an+1}也是等比數列，所以可構造常數列{an}，使an=2，滿足題意，從而Sn=2n.

實際上，我們在解決有關數列的選擇題、填空題的過程中，可以巧妙應用數列的性質，進行大膽猜測、驗證；構造特殊的常數列，使問題解決得簡潔、精巧、明快，達到出奇制勝的效果.

總之，解答數學題的關鍵還在于要掌握思考問題的方法.對于同一類型的題目，可以從不同的角度去觀察思考.由于觀察角度的改變，就可以尋找到解決問題的更佳途徑，使問題變得更加簡單，使解題過程大大簡化，達到事半功倍的效果.常數列作為數列中最特殊的數列，平時往往得不到重視，更談不上對它的應用了.希望大家能從本文得到啟示，在以后解數列題的過程中，多變換觀察題目的角度，構造滿足題意的常數列，它或許就是你解決問題的“鑰匙”.