萬變考題 課本尋根
——談一道平面向量題的改編

●耿道永

(蘇州工業園區第二高級中學 江蘇蘇州 215121)

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萬變考題 課本尋根
——談一道平面向量題的改編

●耿道永

(蘇州工業園區第二高級中學 江蘇蘇州 215121)

平面向量在高考試題中多以中檔題形式出現，這類試題一般區分度較好，能有效考查學生的基礎知識和基本能力.由于這部分內容看起來比較“抽象”，因此很多學生感覺做這類題比較“吃力”.下面通過研究平面向量中常考的一道題根，以期幫助學生掌握這類題的解題策略.

1 原題及解法

(蘇教版教材《數學(必修)》第499頁第12題)

解法1 由題設可知∠A=90°，故

解法2 如圖1，以AC為x軸、AB為y軸建立直角坐標系.易知B(3，0),C(0，4)，從而

圖1 圖2

評注 向量是高中階段數形結合的完美典范，在解題中盡可能地引導學生從代數和幾何這2個角度審視和考查向量問題.“數”一般指向量的坐標方法，“形”一般指向量的基底方法.

2 6個層次的改編

改編層次1 改變三角形形狀

(2015年北京市數學高考理科試題)

即

解得

得

評注 對于一些非直角三角形，一般借助于基底法來解決，作為客觀題，特殊化也是一種有效的策略.當然，對于等腰三角形，也可以利用“三線合一”的性質建立坐標系.

改編層次2 和其他數學知識綜合

( )

A．13 B．15 C．19 D．21

(2015年福建省數學高考理科試題)

圖3

下同解法1.

評注 本題和基本不等式知識相結合，體現了小題綜合化的趨勢，屬于區分度較好的一道題.

改編層次3 以矩形為背景

圖4

(2012年上海市數學高考文科試題)

分析 本題的難點是2個比例相等該如何運用，可以引進一個中間量來處理.

.

又因為0≤λ≤1，所以

解法2 分別以AB,AD所在的直線為x,y軸建立直角坐標系.由

得BM=λ，CN=2，從而M(2，λ)，N(2-2λ，1)，于是

下同解法1.

評注 建系后把向量運算轉化為代數運算，達到“化抽象為具體、化陌生為熟悉”的目的，一般出現直角的圖形建議建系處理.

改編層次4 以平行四邊形(菱形)為背景

圖5

( )

A.20 B.15 C.9 D.6

(2015年四川省數學高考理科試題)

故選C.

解法2 假設AB⊥AD，以AB為x軸、AD為y軸建立直角坐標系.易知M(6，3),N(4，4),從而

故選C.

評注 特殊化建系解決客觀題還是蠻容易的.

( )

(2015年山東省數學高考理科試題)

解法1 由菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°可知

∠BAD=180°-60°=120°,

故選D.

圖6

解法2 如圖6建立直角坐標系，則

B(a,0),

評注 本題雖然不是矩形，但是角度也比較特殊，因此建系和基底法平分秋色.

改編層次5 以梯形為背景

(2015年天津市數學高考理科試題)

圖7 圖8

解法2 如圖8建立直角坐標系，由題設及平面幾何知識易求得

下同解法1.

評注 本題背景、參數、融合的知識(不等式)都變得復雜了，基本是前面所有題型的綜合.

改編層次6 以組合圖形為背景

分析 注意到正三角形“三線合一”，因此可以考慮建系處理，也可以采用基底法處理.

圖9 圖10

評注 對于組合圖形建系解決問題時，坐標系的選擇很重要，建系的原則之一是涉及到的點的坐標比較簡單.

以上題型把向量的數量積的2種形式、向量的加減法有機結合，涵蓋了向量的主干內容，并且方法靈活，容易與其他知識綜合，作為考試的重點和熱點也就不足為奇了.