如何在數學概念教學中完善學生的CPFS結構

閆曉芳?陳頌

摘 要：概念教學是中學數學教學的一項基本內容，數學概念是解決數學問題的基礎和依據。CPFS結構是由概念域、概念系、命題域、命題系組成。在數學教學中，教師應當從多角度揭示概念的意義，使學生形成完整的概念域；梳理知識體系形成概念系；加強概念的應用這三個方面完善學生的CPFS結構。

關鍵詞：數學概念；CPFS結構；數學教學

概念教學是中學數學教學的一項基本內容。數學概念是解決數學問題的基礎和依據。喻平等人提出的CPFS結構是由概念域、概念系、命題域、命題系組成，它是數學學習特有的優良認知結構，能夠幫助學生建構起完備的數學知識網絡體系，各知識點（概念、命題）在這個網絡中處于一定位置，知識點之間具有等值抽象關系、強抽象關系、弱抽象關系或廣義抽象關系。良好的CPFS結構有助于學生對數學概念的理解與應用。形成概念域和概念系是數學概念學習的一個本質特征。在數學概念教學中，教師應當從以下三個方面來完善學生的CPFS結構。

一、多角度揭示概念的意義

一個概念的一組等價定義的圖式叫概念域。在數學教學中，教師應當從多種背景、不同側面去揭示概念的內涵，幫助學生構建完整的概念域。

例1 在“集合”概念的教學設計中，可以從以下實際出發，讓學生通過觀察、討論、概括理解集合的意義，從而總結出集合的概念。

例2 “函數”概念的認識。一個概念有多種定義，而這些定義又是彼此等價的，他們從不同側面刻畫了同一個概念的本質。在教學中，教師要引導學生從不同側面去認識概念，全面把握概念的本質。

例3 “等差數列”概念

側面1：對于數列{an}，若an+1-an=d，其中d為常數，n∈N，n≥1，則稱數列{an}為等差數列。

側面2：對于數列{an}，若an+1-an=an-an-1， n∈N，n≥2，則稱數列{an}為等差數列。

側面3：對于數列{an}，若an=a1+（n-1）d，其中d為常數，n∈N，n≥2，則稱數列{an}為等差數列。

側面4：對于數列{an}，若an=am+（n-m）d，其中d為常數，n∈N，n≥2，則稱數列{an}為等差數列。

二、梳理知識體系，概括概念體系

概念域的形成是針對某個特定概念而言的，而一組概念形成的是概念系，這一組中每個概念之間都存在一些特定的數學抽象關系。概念系的形成依托于客觀知識自身的結構，因此，教師要經常性地梳理知識體系，概括知識結構，有效引導學生自覺、獨立地建立概念系。概念圖是建立概念網絡的一種有效方法，即將每一個概念在平面上用一個點對應地表示，然后用有向線段把有關系的點聯結起來。用雙箭頭表示等價概念，單向箭頭和“+”號表示強抽象關系，單向箭頭和“-”號則表示弱抽象關系。

例4 “函數”的概念系是下面概念網絡的圖式

記A：映射；B：函數；C：函數的奇偶性；D：函數的單調性；E：一元一次函數；F：一元二次函數；G：一次函數y=kx+b；H：二次函數y=ax2+bx+c；I：直線；J：拋物線；K：二元一次方程Ax+Bx+C=0（A，B不同時為0）；L：二元一次不等式Ax+Bx+C≥0。

三、加強概念的應用

概念域和概念系的形成主要是在概念的應用中完成的。概念應用有低層次應用和高層次應用。低層次應用是知覺水平的應用，它是指學生學習一個概念后，當遇到這個概念的特例時，能夠把它作為概念的具體例子加以識別。思維水平的應用是高層次應用，是指將概念用于解決問題。由于問題解決涉及的概念、命題較多，因此概念在思維水平上的應用就是一個比較復雜的過程，它需要學生選擇和提取相關的概念和命題，并將其與當前問題聯系起來，經過一定數量的解題訓練，把這些經驗內化為概念域和概念系。

例5 ① 求函數的定義域 ② 求函數的定義域

問題①中只涉及求含有偶次根式的函數的定義域，只需令x-1≥0即可，因而是概念在知覺水平上的應用。問題②中還需要用到根式的有關概念和性質，屬于概念在思維水平上的應用。教師在教學中，要積極為學生應用知識創設良好的環境，使學生在應用概念的過程中理解概念之間的關系，從而形成正確的概念域和概念系。

參考文獻：

喻平. 數學概念學習芻議[J]. 課程·教材·教法，1995（4）：30-32.