雞兔同籠問題新探

羅曉喻

摘 要：雞兔同籠問題是小學數學中比較有趣味性的題目，而且與生活實際的聯系比較密切，但是解題過程較為煩瑣，小學生往往感覺題目難度大。這主要是因為小學生正處于人生發展的初級階段，思維能力與知識儲備都不足。為此教師在教學的過程中應注重培養小學生的理解能力，嘗試采取多樣化的教學方法，促使他們快速掌握所學知識。現本文就從《九章算術》中的雞兔同籠問題入手，進行相關練習題的變式與規律探究，以幫助小學生鞏固自身知識，更好地提高他們的水平與能力。

關鍵詞：小學數學；應用題；雞兔同籠；解題方法

雞兔同籠并不是一種題目，而是一類題目的總稱，指的是把兩種有聯系的事物放在一起，已知這兩種事物的總和與它們本身特有的數量關系，然后分別求解這兩種事物數量的一種題型。教師在教學的過程中應該注重雞兔同籠問題的變式訓練，以使小學生在理解的基礎上真正掌握該類題型，做到舉一反三。

一、《九章算術》中的雞兔同籠問題

小學數學中的雞兔同籠問題來自于古代數學的《九章算術》，解題方法多樣化，分為假設法、列表法與方程法等，在現階段的小學數學教學中，一般采用的是方程法。教師在教學的過程中應根據小學生的不同知識水平與性格特點，教授給他們不同的解題方法，以便小學生更好地掌握知識。

例如在應用題“已知籠子里有一些雞和兔子，它們的總數為24只，從籠子下面數腳的只數為62，試求雞和兔子分別有多少只”中，教師可進行如下教學設計：

師：通過題目我們發現，雞的數量+兔子的數量=24，一只雞有兩只腳，一只兔子有四只腳，大家思考一下，應該怎么計算呢？

生1：要是籠子里全部都是雞就好了，都是2只腳比較容易計算。

生2：都是雞的話，腳的數量就是2×24=48只，比62少14只。

生3：這樣的話，再增加兔子的數量就好了，我們可以列出表格：

生4：通過表格，可以得出雞的只數為17，兔子的只數為7。其實，減少一只雞增加一只兔子，腳的數量就會增加2，這樣的話用（62-2×24）÷2=7，也可以得出兔子的數量，進一步再求雞的數量就可以了。

生5：那我們也可以假設籠子里全部都是兔子。

師：大家都總結得很好，這是我們雞兔同籠問題中常用的假設法。那還有沒有其他的解題方法呢？比如說我們之前學過的方程法。

生1：可以假設雞的數量為x，兔子的數量就是24-x。列算式的話是2x+4（24-x）=62。

生2：也可以假設兔子的數量為x，雞的數量就是24-x，列算式4x+2（24-x）=62。

師：相對來說，方程法比假設法還要簡單一點。那么還有沒有其他的方法呢？

在上述案例中，學生較好地掌握了雞兔同籠問題中的假設法與方程法。這樣教師在教學的過程中還應注意讓小學生總結與思考不同解題方法的優缺點，以便在后續做題中做到有的放矢。

二、變式訓練中的雞兔同籠問題

雞兔同籠問題中涉及的變式題較多，例如例題中是雞和兔子兩種動物，但在有的題型中會涉及三種動物。這樣教師在教學的過程中就應該設計多樣化的變式題題組，幫助小學生掌握與深化所學知識。

例如在應用題“雞、鴨、狗三種動物一共有34個頭，108只腳，試求狗的數量有多少只”中，小學生潛意識里會覺得要分別求出雞、鴨、狗的數量，才可以解決問題。但是涉及三種動物的應用題之前沒有學過，難免會不知道如何下手。教師在教學的過程中要善于引導小學生，進行如下教案設計：

師：要想求狗的數量應該怎么計算呢？

生：需要知道雞和鴨分別是多少只，才能根據題目的已知條件求出狗的數量。

師：那我們可不可以求出雞和鴨的總數，然后再進一步求狗的數量呢？

生1：這樣做也是可以的，而且題目里面沒有讓我們求解雞和鴨各有多少只，求它們的總數就可以了。

生2：這樣的話，我們就可以把雞和鴨看作是一種動物了，反正雞與鴨都只有兩只腳，這樣就可以按照雞兔同籠問題進行解答了。

生3：我們可以通過列方程的形式來快速求解，即設狗的數量為x，那么雞和鴨的數量總和就是（34-x），可以列出算式4x+2（34-x）=108，可以得出狗有20只，雞和鴨一共有14只。

師：是的，在遇到變式題目的時候，我們首先要做的就是看能不能根據已經學過的雞兔同籠問題進行計算。例如，在如下變式題中，蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在三種昆蟲共有22只，腿和翅膀的數量分別為140條和28對，試求三種昆蟲各有多少只？這道題根據我們所學的雞兔同籠問題應該怎么計算呢？

生1：題目中不僅有動物腿之間的關系，還有翅膀之間的關系，這應該怎么計算??？

生2：可以根據變式訓練1進行計算，反正蜻蜓和蟬都有6條腿，先求出它倆的總數，再根據翅膀分別求就可以了。

師：是的，在遇到比較有難度的數學應用題時，還是應該保持良好的解題心態，一步一步解決就好了。那大家知道怎么列算式了嗎？

綜合上述案例，教師在教學的過程中，還可在雞兔同籠問題的基礎上設計更多有趣味性的題目，一方面激發小學生學習的積極性與主動性，另一方面還能有效提升小學生的數學思維與能力，取得較好的教學效果。

三、多樣化練習中的雞兔同籠問題

當然，雞兔同籠問題的變式題并不是簡單地與動物相關的題目，只要題目中所涉及的事物之間有一定的聯系，都可以看作是雞兔同籠問題的變式題。教師在教學的過程中應該組織小學生做好多樣化練習題的訓練，真正鍛煉他們解決實際問題的能力，有效提高數學課堂教學的效率。

例如在應用題“汶川地震的時候，小明把儲錢罐里1角和5角的硬幣全部捐給了災區，已知硬幣總數為50枚，一共為13元，試求1角和5角的硬幣分別為多少枚”中，教師就可引導小學生把1角和5角的硬幣問題看作是雞兔同籠問題，根據方程法列式x+5（50-x）=130或者5x+（50-x）=130即可，當然還應注意單位之間的換算。同理，在解決與比賽相關的題目時，也可從雞兔同籠問題的思維入手，例如在題目“在某比賽中，規定贏一場球得3分，平一場得1分，負一場得0分，某球隊一共踢了12場，其中輸了6場，一共得分16分，試求該球隊勝了多少場”中，可假設勝的場數為x，則一共平了（6-x）場，列式為3x+（6-x）=16，即可求出正確答案。當然也可以采取列表假設法的形式求解：