論述函數方程式與函數圖像之間的關系

袁禎瀧

【摘 要】函數方程式和函數圖像是高中數學上常見的兩個數學概念，二者互不相同，又相互關聯、相互滲透，在特殊的條件下，這兩者還可以相互轉化，這就是函數方程式與函數圖像二者之間的辯證關系。正確掌握和利用二者之間的關系，對以后做題具有重大意義。本文就來簡單論述函數方程式與函數圖象之間的關系，希望通過分享本人的學習經驗能對同學們數學成績的提高，提供微薄之力。

【關鍵詞】函數方程式；函數圖像；關系

1.引言

我們在高中數學中經常可以見到函數方程式與函數圖像，二者之間的相互轉化可能是某些數學大題的主要解題思路之一，掌握和熟悉這二者之間的關系，對學好數學具有重大意義。數學問題的解決，必然伴隨著主觀能動性的提高，必然伴隨著對數學知識本質理解的加深。高中數學作為一門必修的基礎學科，必然是初中數學的延伸，比初中數學需要更高的理解能力。數學能力的提高不僅僅是對數學課本知識的熟悉和掌握，更是數學思維的培養。函數方程式與函數圖象的關系一直以來都是考試和高考的重要考點，熟悉并掌握函數方程式與函數圖象的相互關系，并能學以致用，解決與之有關的題目和應用非常必要。

2.函數方程式與函數圖象之間的關系

在數學領域內，函數是這樣被定義的：若M、N都為非空的集合，若還存在一種對應關系為y，使得M中的每一個個體x，都對應N中的唯一一個個體，那么我們就稱y為集合M到集合N的一個函數。對于函數方程式y=ax+b（a≠0）這個二元一次函數方程來說，它的函數圖象是一條直線，方程式是那條之現在數學上的代數表達，直線圖像是函數方程式直觀的表現。對這個函數方程式來說，x是自變量，而y是因變量，也是函數值，y隨x的變化而變化。若設y=0，函數方程式變成了ax+b=0，原二元一次方程就變成了一元一次方程，該方程的解就是直線與x軸的交點。若令x=0，原方程就變成了y=b，b即為直線與y軸的交點，b值也被稱為截距。比如，函數方程式y=3x-3。該函數圖像是一條直線，令y=0，即將原二元一次函數方程式變為一元一次函數方程式3x-3=0，解出x=1，即圖像與x軸的交點是（1，0）；同理，令x=0，我們可以求出圖像與y軸的交點為（0，-3），這樣我們就可以在腦中構思出該函數的圖像。同樣，我們可以將之推廣到二元二次函數方程式。

對于二元二次函數方程y=2x2-5x+2，因為2為正數，我們可以知道該函數的圖像是開口向上的一個拋物線。該方程的解就是圖像與x軸的兩個交點，這兩個交點我們可以通過十字相乘法來求：（2x-1）（x-2）=0，方程的解分別為0.5和2。又知道了方程的兩個解，方程的圖像我們就可以很容易得出。在由函數方程式畫出的函數曲線上所有的點都是這個函數方程式的解；同時若一條曲線上所有的點都是某個函數方程式的解，那么這個曲線就是這個函數方程式的函數圖象。

3.函數方程式的解的妙用

3.1函數方程式的解與函數圖像切線

對于函數方程式y=x3+6x2-9x來說，假如經過點A（-1，n）能夠做函數y圖像的切線數量是3個，那么求n的取值范圍是多少？這道題首先看起來很有難度，不知如何解題，那我們就先來找尋一個突破點，既然這道題與函數圖象的切線有關，那么就先來求函數y的導數，y′=3x2+12x-9，所以切線的斜率就是3x2+12x-9。對于A點來說，其可能是切點，也可能不是切點，所以我們可以設切點為N（x0，y0），那么點A和點N都在切線上，由這二點求斜率，與上式連立，可得到一個關于n的有3個解的函數方程，既然要保證有3個解，那么我們通過作圖，我們就可以得到n的取值范圍在-5和-4之間。

3.2函數方程式的解與函數的值域

對于函數方程式y1=（1/3）x3-x2-x與函數方程式y2=2x+b在x屬于[-3，4]上有2交點，求x的取值范圍？我們要大概畫出二者函數的圖像，有些困難。由題目知，（1/3）x3-x2-x=2x+b這個等式在[-3，4]上有兩個解，那么我們就轉化得到的等式，將轉化的等式作為一個新的方程來求解，再根據導數、極值和單調性做出大概函數圖象，來解決題目。

4.結語

綜上所述，函數方程式與函數圖象是數學領域內的重要知識點，是高中學習階段期末考試和高考的常見題目和拔高類題目。函數方程式與函數圖象問題的解決，不僅可以提升同學做出一道大題的成就感，更可以加強對學習數學的自信心。熟悉、掌握和應用函數方程式與函數圖象的相關知識，還可以了解數學從簡入難的發展規律，促進認真思考、勤于動腦良好品德的形成，培養嚴謹、認真數學思維的形成，使同學們日后對數學的學習和復習更加得心應手。高考作為一個選拔性考試，不光考察表面的數學知識，更多的是考驗同學對數學本質的了解，這就要求我們不僅要掌握基本知識，還要深入挖掘，領會數學知識點的本質。函數方程式與函數圖象的關系是高中數學的重要部分，我們要從本質上了解函數，用函數的思想去做題，才能從根本上提高解決函數方程式與函數圖象這類題目乃至整個數學的能力。

【參考文獻】

[1]尚強，胡炳生.函數與其圖像的關系——初中數學解疑釋惑系列十五[J].福建教育，2013（Z6）

[2]劉震.例析函數的三種應用[J].中學生數理化（高一版），2012（09）

[3]夏則勇.注重基礎，另辟蹊徑，巧解函數與方程[J].中學生數理化（高一版），2012（09）