凸顯數(shù)學(xué)思想方法 讓數(shù)學(xué)教學(xué)更美麗

史曉艷

[摘 要]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生在理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能的同時，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”集合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想，對學(xué)生理解題意、解答問題和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要作用，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實而有效的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]集合思想 數(shù)學(xué)教學(xué) 學(xué)習(xí)興趣 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-019

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗稿）在總體目標(biāo)中指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”這充分說明了數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，可是由于數(shù)學(xué)思想方法具有內(nèi)隱的特性，使得教師在平時教學(xué)中經(jīng)常忽視它的存在。

一、問題——教學(xué)中為何難以落實

1.思想認識欠缺

數(shù)學(xué)思想方法在整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段是非常重要的，但通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，有75%的小學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)思想方法在課堂教學(xué)中從未滲透過。尤其是50歲左右的老教師，對數(shù)學(xué)思想方法模糊不清，在課堂中更是很少給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想方法。甚至有些教師僅為了讓學(xué)生解決問題，而草草地進行講解，對題中所滲透的數(shù)學(xué)思想方法往往都是忽視的。

2.教師能力所致

通過對農(nóng)村150個教師的問卷調(diào)查及近年來青年教師專業(yè)知識測試，發(fā)現(xiàn)剛?cè)肼毜那嗄杲處熂袄辖處煪毩@研教材的能力不強，挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法的能力欠佳、意識淡薄，大部分教師只注重知識與技能的傳授，淡化了數(shù)學(xué)思想方法的滲透。長此以往，教師在教學(xué)中不注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識是孤立的、零散的，不利于學(xué)生對所學(xué)知識的真正理解和掌握，加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)。

3.培訓(xùn)引領(lǐng)不夠

在小學(xué)數(shù)學(xué)各級各類培訓(xùn)中，對課堂上如何使學(xué)生接受知識可以做到最大化的研究與討論比較多，但很少有專家或教師在點評過程中重視對學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中對數(shù)學(xué)思想方法的重視就有所欠缺。

鄭毓信先生說過：“對數(shù)學(xué)思想和方法的突出強調(diào)，應(yīng)當(dāng)說是數(shù)學(xué)教育特別是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)現(xiàn)代演變的一個主要特征。”數(shù)學(xué)思想方法以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，在教學(xué)中發(fā)揮積極的作用，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，還是學(xué)生未來發(fā)展的重要基礎(chǔ)。因此，在課堂中有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法，已經(jīng)是眾多教學(xué)專家達成的共識。本文以三年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——集合”一課教學(xué)為例，對如何滲透數(shù)學(xué)思想方法展開教學(xué)實踐與研究。

二、探尋——以“集合”為例尋滲透數(shù)學(xué)思想教學(xué)之路

1.課前之研

數(shù)學(xué)教材通過靜態(tài)的形式呈現(xiàn)知識內(nèi)容，而學(xué)生需要經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的動態(tài)過程，才能更好地理解和掌握所學(xué)知識。因此，教師必須深入研讀教材，優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生真正觸及數(shù)學(xué)的思想方法與本質(zhì)。

（1）追本溯源，尋找起點。

①本學(xué)科的追溯。

“集合”雖是三年級上冊的內(nèi)容（如下圖），但是集合的概念、集合的思想在一二年級早已出現(xiàn)過。

學(xué)生在開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，教材就通過直觀形象的韋恩圖滲透集合的思想。如在認識0～10的數(shù)字中，每個數(shù)字都有一張相應(yīng)的集合圖，也就是告訴學(xué)生，一個集合中有幾個元素就用“幾”來表示。又如，《數(shù)學(xué)》第一冊表示1的集合圖里只有一個元素（一面紅旗等）、表示3的集合圖里有3個元素（3把凳子等），這就很形象地把集合中的元素與基數(shù)的概念有機地聯(lián)系起來；《數(shù)學(xué)》第二冊“認識圖形”一課把類似的圖形都放在一起，滲透了如何把同類的物體組成一個集合的思想；加法運算中有這樣一題“左邊一只千紙鶴，右邊兩只千紙鶴，一共有幾只千紙鶴”，這既是兩個集合間不交叉的運算，又是集合思想的體現(xiàn)。雖然集合思想早就滲透在教材中，但學(xué)生對于兩個集合間的運算，尤其是交集的體會并不多。如教材中有這樣一題：“有一列小朋友，從前數(shù)明明排第6，從后數(shù)明明排第2，這一列有幾人？”對“重復(fù)的人數(shù)要減去”學(xué)生是有經(jīng)驗的，能夠列式解答，這里就已經(jīng)開始讓學(xué)生運用集合的思想來解題。

②跨學(xué)科的追溯。

其實，在《科學(xué)》的起始年級教學(xué)過程中也有對數(shù)學(xué)思想方法的滲透。如在教學(xué)《蛋的結(jié)構(gòu)》一課時，教師給每個學(xué)生小組一個新鮮的雞蛋，讓學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)蛋的結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過自主觀察，用列表法記錄好對蛋的結(jié)構(gòu)（如右圖）的發(fā)現(xiàn)，如蛋有卵白、卵殼、卵黃等組成部分。這里教師可運用一一列表、畫圖的思想方法，讓學(xué)生學(xué)得輕松，理解得容易。

又如，教學(xué)《神奇的磁鐵》一課時，教師給每個學(xué)生小組一些能被磁鐵吸的物體、不會被磁鐵吸的物體及實驗記錄單，讓學(xué)生分組實驗，探究怎樣的物體能被磁鐵吸，然后引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，發(fā)現(xiàn)磁鐵的特性。

（2）精細解讀，理解教材。

例如，三年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——集合”單元中共有九道用集合思想解決的題目（含例題、“做一做”、練習(xí)題等），涉及學(xué)生在生活（比賽人數(shù)、水果品種、參觀人數(shù)等）和學(xué)習(xí)（按要求填數(shù)、寫成語等）中經(jīng)常遇到的問題，即求兩個集合的并集或交集的元素個數(shù)。其中，教材例題（如下圖）的教學(xué)意圖很明顯，可分為以下三步。

第一步，教材用統(tǒng)計表的形式給出某班級參加跳繩、踢毽比賽的學(xué)生名單，并提出要解決的問題。教師讓學(xué)生充分自主探索解決問題的各種方法，教學(xué)中通過一一列舉出參加兩項比賽的學(xué)生姓名（兩個集合的元素），并把重復(fù)的姓名凸顯出來，讓學(xué)生感悟到在求兩個集合的并集時，它們的共同部分在并集中只能出現(xiàn)一次。

第二步，了解用韋恩圖表示集合及其運算的方法，讓學(xué)生體會集合元素的特性是無序性和互異性，明確集合的運算有交集和并集。

第三步，教師提出的問題“可以怎樣列式解答”脫離了具體的圖和情境，從集合的角度讓學(xué)生用計算解決兩個集合并集的元素個數(shù)的問題。

整個教學(xué)過程，學(xué)生通過操作、觀察、猜想、推理等活動，感受到其中的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成嚴(yán)密的、有序思考問題的意識與探究意識及發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識。

（3）課前調(diào)研，再探起點。

教學(xué)“集合”一課前，我對學(xué)生進行了前測，題目與課本中的例題相同，其中5%的學(xué)生能用比較完整的韋恩圖來解決；20%的學(xué)生對集合的重疊部分能初步感悟，但不能用準(zhǔn)確的韋恩圖來表示；75%的學(xué)生還是不能體會到人數(shù)有重疊。其實，集合的數(shù)學(xué)思想不僅在生活中有著廣泛的應(yīng)用，而且是學(xué)生今后進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力提供了良好的素材。如三角形的分類、各種四邊形關(guān)系等，都是讓學(xué)生在運用中解決實際問題，為今后的學(xué)習(xí)奠基。根據(jù)以上認識，我對“集合”一課設(shè)計了以下的教學(xué)思路：以學(xué)生喜歡的“腦筋急轉(zhuǎn)彎”創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認知沖突，揭示課題；接著通過列表提出問題，讓學(xué)生用圖的形式表達心中的想法，并將學(xué)生的想法一一呈現(xiàn)，引出集合；再設(shè)計由易到難、有層次的練習(xí)，鞏固新知；最后課外拓展，回顧總結(jié)。

2.課中之研

根據(jù)以上的分析，我對“集合”一課進行了細致入微的教學(xué)設(shè)計。如下：

（1）引發(fā)沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

①出示趣味題。

師：昨天，老師見到兩個爸爸和兩個兒子一同去看電影，可是他們只買了3張票就順利地進了電影院，這是為什么？

生：因為兩個爸爸和兩個兒子分別是爺爺、爸爸、兒子。

（2）呈現(xiàn)改變例題主題圖中的統(tǒng)計表，并提出“喜歡吃梨和桃子的一共有多少人”的問題，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。

四（1）班喜歡吃梨和桃子的同學(xué)名單

師：你從調(diào)查表中獲得了哪些信息？根據(jù)這些信息，你能提出什么問題？

生1：喜歡吃梨和桃子的一共有多少人？

師：怎樣求出一共的人數(shù)？

生2：9+8=17（人）。

（學(xué)生有歧義，發(fā)現(xiàn)重復(fù)，引發(fā)認知沖突）

（2）數(shù)形結(jié)合，突破探究的難點。

由于數(shù)和形的關(guān)系非常密切，不可分割，所以教師要把數(shù)和形結(jié)合起來，將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，幫助學(xué)生真正掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)概念。同時，數(shù)形結(jié)合既能發(fā)展學(xué)生動手操作的能力，又可以促使學(xué)生的思維更加完善、精確。因此，課堂教學(xué)中，教師可借助直觀的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解韋恩圖中每一部分的含義，加深學(xué)生對集合知識的理解。

①數(shù)形結(jié)合突破。

師：是的，有些人既喜歡吃梨，又喜歡吃桃子，但這樣子我們沒法一眼就看出一共有多少人。那你們能不能想想辦法，把這些同學(xué)的名字再整理整理，要求一眼就能看出這些同學(xué)喜歡水果的情況，然后用自己喜歡的方式把它表示出來？

……

（學(xué)生自己動手試一試，教師引導(dǎo)他們可以用寫一寫、畫一畫、擺一擺等方法）

師：比較上面幾位同學(xué)的方法，你們覺得誰的圖能最清楚地讓我們看出同學(xué)喜歡水果的情況？

……

我在教學(xué)集合時并沒有直接出示韋恩圖，也沒有指定學(xué)生一定要用韋恩圖來解決問題，而是讓學(xué)生將自己的理解用各種形式表示出來。在展示環(huán)節(jié)中，我有意識地安排學(xué)生先從文字開始表述，再向表格遞進，以此凸顯表格比文字表達更勝一籌，然后到用一個小小的圈來表示，最后逐步明朗化，于是有學(xué)生自主提出用韋恩圖來表示。

在此環(huán)節(jié)中，我充分挖掘、滲透符號化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生將自己的理解和想法用喜歡的符號表示出來，并給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了比較的環(huán)節(jié)，使學(xué)生自己去體會、去感悟，這樣就將課的教學(xué)重點凸顯出來，使教學(xué)水到渠成。

②解決問題多樣化。

師：剛才我們根據(jù)這幅圖，已經(jīng)清楚地知道了同學(xué)們喜歡水果的情況，現(xiàn)在我們一起解決最開始提出的問題：喜歡吃梨和桃子的一共有多少人？現(xiàn)在你能解決這個問題了嗎？

生7：9+8=17（人）。

生8：9+8-3=14（人）。

生9：9+（8-3）=14（人）。

生10：（9-3）+8=14（人）。

生11：6+3+5=14（人）。

……

學(xué)生根據(jù)剛才的展示用算式表示出來，我在此環(huán)節(jié)中及時滲透算法多樣化的思想，讓學(xué)生的想法在課堂中得以展示。因此，只要教師心中有滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識，課堂就會一直以學(xué)生為中心，將每個學(xué)生的所思所想淋漓盡致地展現(xiàn)出來。

（3）豐富練習(xí)，完善思維的內(nèi)化。

在課堂教學(xué)中，我選擇一些趣味性、實踐性的素材設(shè)計練習(xí)，提升學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的意識和能力。如本單元共有九道題來自于學(xué)生熟悉的情境，于是我安排了以下三個層次的練習(xí)。

這三個層次的練習(xí)，從具體的生活實物到抽象的文字訓(xùn)練，使學(xué)生慢慢地體會到從集合的角度來思考和解決問題是非常有效的。這樣不僅可以增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，訓(xùn)練學(xué)生的思維，而且能讓學(xué)生逐漸學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待身邊的事物。同時，這樣設(shè)計練習(xí)，可以逐步深化學(xué)生對集合知識的理解。如練習(xí)中的第1～2題，都提供了具體的集合元素作支撐，幫助學(xué)生理解集合及其運算；第3題則沒有具體形象的實際物體作支撐，讓學(xué)生直接從集合元素的個數(shù)探索和解決問題，旨在發(fā)展學(xué)生的思維，且題目中還給出了兩個集合沒有交集、有包含關(guān)系的情況，豐富了學(xué)生對集合間關(guān)系的認識。

三、思考——總結(jié)輻射，感悟思想

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說過：“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們的生活與工作中發(fā)揮著作用。”因此，教學(xué)之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，歸納總結(jié)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

1.課前備課挖掘思想方法的自覺性

在小學(xué)階段六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容滲透了眾多的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、類比、集合、數(shù)形結(jié)合、代換、數(shù)學(xué)模型等。由于教材中的數(shù)學(xué)概念、法則、公式等都是有形的，而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識體系里，是無形的，所以常常被教師忽略。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)研討中，應(yīng)提高教師滲透數(shù)學(xué)思想方法的自覺性，將使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)目標(biāo)之一。在整個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，就可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，這往往比書本知識的傳授更重要，更能使學(xué)生適應(yīng)未來社會的變化和發(fā)展。

2.教學(xué)過程滲透思想的巧妙性

從數(shù)學(xué)的各分支中提煉和總結(jié)出來的思想方法，實質(zhì)上就是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的方法，是進行數(shù)學(xué)活動的方法，揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。作為教師，在教學(xué)過程中首先要有滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識，然后通過分析、挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，了解教材編者的意圖，就能從高度著眼，巧妙地將數(shù)學(xué)思想方法在課堂中進行滲透，讓學(xué)生了解知識發(fā)生、發(fā)展和形成的全過程，幫助學(xué)生思考和解決問題。例如，在四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”一課教學(xué)時，教師就可以巧妙地運用畫圖法、列表法，將學(xué)生難以理解的題意，通過畫圖或列表呈現(xiàn)出來。這樣不僅使學(xué)生能非常清楚地明白“雞有幾只”“兔有幾只”的復(fù)雜問題，而且能通過觀察圖和表格，讓學(xué)生獲得解題的思路和方法，從而掌握其中的數(shù)學(xué)思想方法。

3.課后提煉數(shù)學(xué)思想方法的延伸性

加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法不自覺的應(yīng)用，進而變成自覺的行為。作為教師，在課堂中對數(shù)學(xué)思想方法考慮周全、滲透及時，能拓展學(xué)生的解題思路，使學(xué)生在遇到難題時會運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，為學(xué)生的終生學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。例如，教學(xué)六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”時，在學(xué)生通過畫圖對“數(shù)與形”的知識進行探究后，為了加深學(xué)生對新授知識的理解，教師在課后安排相應(yīng)的運用畫圖的方式來解決的問題，如右圖這樣的練習(xí)。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時滲透數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的需要，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)效率。因此，教師在整個小學(xué)階段要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)猶如在幽幽江中撐篙而行，緩緩前行，一步一景，使學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一場美麗的旅行。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 束仁武.如何滲透數(shù)學(xué)思想[J].安徽教育，1997（5）.

[3] 吳明富.在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的探索與實踐[J].池州師專學(xué)報，2004（5）.

[4] 黃育粵.課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)遵循的原則[J].云南教育，1999（5）.

[5] （美）李維，著.黃征，譯.《數(shù)學(xué)沉思錄：古今數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與演變》.人民郵電出版社，2010（8）.

（責(zé)編 藍 天）