“幾何直觀”

童紅波

【摘 要】 “幾何直觀”是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律與解題思路的一個極其重要的策略。文章通過找尋教材里數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中應(yīng)用幾何直觀的例子，把抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為形象的數(shù)學(xué)的基本思路有：轉(zhuǎn)化為“點”的直觀、轉(zhuǎn)化為“線”的直觀、轉(zhuǎn)化為“面”的直觀。從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。

【關(guān) 鍵 詞】 幾何直觀；點；線；面

中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）27-0083-04

一、點的直觀

點是圖形的最基本元素，用點作基本單位得到的圖也稱為點子圖。在數(shù)學(xué)中，點子是應(yīng)用一一對應(yīng)的思想對實物進行計數(shù)的一種方法，點子實際是對實物的一種抽象。點的直觀，就是把數(shù)學(xué)思維的抽象性轉(zhuǎn)化成點子圖的形象性，幫助學(xué)生更好地理解。

1. 應(yīng)用點的直觀，利于數(shù)的認識

例如，人教版一年級上冊《6和7的認識》中的點子圖，就是用一個點子表示一個單位（這里指一個人），進而抽象出數(shù)6與7，見圖1。

四年級下冊“數(shù)的產(chǎn)生”中介紹這樣的例子，在古代小石子、繩結(jié)、刻痕等都是一種點子的實物原型，見圖2。

2.應(yīng)用點的直觀，計算化繁為簡

例如，計算“1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+3+2+1=？”時，很多學(xué)生看到題目無從入手，一個一個加太麻煩了，一時又找不出好的方法。這時，可以引導(dǎo)學(xué)生利用表象，用聯(lián)系的觀點把每個加數(shù)想象成一個個點，通過點陣的分布來找規(guī)律，最后求解。教師首先出示圖3，請學(xué)生從上往下一層一層數(shù)，學(xué)生馬上列出算式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

教師把圖3旋轉(zhuǎn)45°得到圖4，學(xué)生馬上想到總數(shù)為10×10=100。通過找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)上題的計算方法是100×100=10000。

3.應(yīng)用點的直觀，模糊變?yōu)榍逦?/p>

點子可以表示數(shù)值，如果加上點子色彩或形狀變化，可以表示更加豐富的數(shù)量關(guān)系。例如，有一種溶液，加1杯水后，含鹽量變?yōu)?5%，再加1杯鹽后，含鹽量變?yōu)?0%，求原來這種溶液的含鹽量。

分析：這道題條件中沒有原來溶液的容量，含鹽量一會兒是25%，一會兒又是40%，數(shù)量關(guān)系看似十分繁雜，難以理解。用下面形象的點子表示其數(shù)量關(guān)系來引導(dǎo)學(xué)生思考就方便多了。

25%=，40%=，用○代表1份鹽，用●代表1份水。

加1杯水含鹽量為25%，也即，圖示為○●●●

再加1杯鹽后含鹽量為40%，也即，圖示為○○●●●

由上圖很容易得出：1份鹽、1份水剛好也是1杯鹽、1杯水，如不加1杯水和1杯鹽，原含鹽量由圖示應(yīng)為○○●●●-○-●=○●●即原溶液的含鹽量為，也即33.3%。

應(yīng)用點的直觀特點，可以把一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，把難以理解的數(shù)量關(guān)系變得一目了然，并激發(fā)學(xué)生解題的興趣，提高解題能力。

二、線的直觀

線的直觀，也叫作畫線段圖，用線段表示某一種數(shù)量，線段的長度表示數(shù)量的大小，線段長度間的關(guān)系表示數(shù)量關(guān)系，從而直觀地顯示題意，以便尋求已知條件和問題之間的聯(lián)系。

1.應(yīng)用線的直觀，促進算理理解

例如，一輛摩托車小時行駛18千米，1小時行駛多少千米？

學(xué)生根據(jù)已學(xué)過的數(shù)量關(guān)系“路程÷時間=速度”，正確列出算式：18÷，由此自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容。

師（畫出一條線段）：如果把這條線段看作1小時行的千米數(shù)，那么怎樣表示小時行的千米數(shù)？

生：把這條線段平均分成10份，其中的3份表示小時行的千米數(shù)。

教師根據(jù)學(xué)生的回答畫出線段圖，見圖5。

師：觀察線段圖，想一想怎樣求摩托車1小時行的千米數(shù)呢？

（學(xué)生根據(jù)線段圖進行思考，很快發(fā)現(xiàn)這道題的解題思路。）

生：根據(jù)“摩托車小時行駛18千米”，可以先求出摩托車小時行駛多少千米，算式是18÷3 = 6（千米）；求1小時行駛多少千米，也就是求6個小時行多少千米，用6×10 =60（千米）。

教師在線段圖上標出小時行駛的路程，并板書算式18÷3×10。

師：18÷3能不能轉(zhuǎn)化成乘法計算？根據(jù)乘法結(jié)合律，18××10還可以怎樣計算？

教師繼續(xù)板書：18÷=18÷3×10=18××10=18×= 60（千米）

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析等式：18÷=18×，歸納出整數(shù)除以分數(shù)的計算方法：整數(shù)除以分數(shù)可以轉(zhuǎn)化為乘這個分數(shù)的倒數(shù)。

根據(jù)問題畫出線段圖，學(xué)生在線段圖的幫助下很快發(fā)現(xiàn)了這道題的解決思路：先求出摩托車小時行多少千米，再求1小時行多少千米，列出算式18÷3×10。然后，教師對這一算式進行適當?shù)男问交幚恚怪蔀榧葘W(xué)生具有啟發(fā)作用又能體現(xiàn)整數(shù)除以分數(shù)一般算法的典型模型，學(xué)生順利實現(xiàn)了理解基礎(chǔ)上的算法建構(gòu)。這一教學(xué)事實表明：線段圖是溝通實際問題與數(shù)學(xué)算式之間的重要“橋梁”，利用線段圖的直觀效果，有效降低了學(xué)生探究算理、理解算理的難度。

2.應(yīng)用線的直觀，復(fù)雜變?yōu)楹唵?/p>

新教材提出“淡化數(shù)量關(guān)系、聯(lián)系生活實際”的要求，很多教師卻曲解了本身的內(nèi)涵，因而很少講題目中的數(shù)量關(guān)系，片面追求解決問題過程中的生活化，生怕被扣上教育理念陳舊的帽子。這樣導(dǎo)致的結(jié)果就是，學(xué)生遇到稍有變化的題目就無從下手，更不用說舉一反三了。其實，應(yīng)用傳統(tǒng)的線段圖能很好地幫助師生理清數(shù)量之間的關(guān)系，清晰呈現(xiàn)解題思路，變復(fù)雜為簡單。

例如，一捆電線用去全長的，又用去余下的，最后還剩下3.6米。這捆電線原來有多少米？

方法一：

師：這兒的和，單位“1”相同嗎？

生：不同，以全長為單位“1”，以余下的為單位“1”。

師：你覺得怎樣可以使題目中的條件更直觀？

生：畫出線段圖。

學(xué)生嘗試畫圖，教師整理后得到圖6。

生：把第一次用去后余下的電線看作單位“1”，余下的（1-）是3.6米，求出余下的米數(shù)，算式是3.6÷（1-）=10.8（米）；再把全長看作單位“1”，已知全長的（1-）是10.8米，求出全長的米數(shù)，算式是10.8÷（1-）=14.4（米）。

方法二：

生：既然兩個分數(shù)的單位“1”不一樣，可以將全長統(tǒng)一為單位“1”，因為余下的是全長的（1-），所以用去余下的就是用去全長的（1-）×=。現(xiàn)在我們知道全長的（1--）是3.6米，見圖7。

線段圖是解決問題的思維“工具”。畫線段圖的過程是以問題的文字表述為“藍本”，以已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)的構(gòu)造性活動。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用線段圖的目的不僅是幫助學(xué)生解決某些具體問題，提高分析問題、解決問題的能力，更重要的是使學(xué)生學(xué)會用“數(shù)學(xué)思考”。

三、面的直觀

點是0維空間，一個點可以表示一個單位數(shù)量；線表示一維空間，可以反映數(shù)量的多少；面是二維空間，它既可以表示大小，又可以表示數(shù)量關(guān)系。面的直觀是指把抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的平面圖形，幫助學(xué)生建立概念，避免繁雜的計算，理清數(shù)量之間的關(guān)系。

1.應(yīng)用面的直觀，建立數(shù)學(xué)概念

許多數(shù)學(xué)概念比較抽象，教學(xué)中常采用化歸、分類、比較的數(shù)學(xué)思想方法，也可運用圖形提供數(shù)學(xué)問題情景。通過對圖形中的情景進行分析，抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念。教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”時，教師應(yīng)用面的直觀創(chuàng)設(shè)如下情景：

（1）擺長方形。

師：這里有12個正方形，你能擺成不同的長方形嗎？

生：每排4個，擺3排；每排6個，擺2排；每排12個，擺1排。

師：請看圖8，每排4個，擺3排，一共12個正方形。像這樣，可以說4是12的因數(shù)，3也是12的因數(shù)。反過來，12是4的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)。那么，根據(jù)圖9、圖10能說一說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)嗎？

學(xué)生反饋……

師：那么，圖8能用算式表示嗎？

4×3=12 12÷3=4 12÷4=3

師：現(xiàn)在能結(jié)合算式，說說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)嗎？

學(xué)生反饋……

師：圖9、圖10能列出算式嗎？誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？

（2）辨析。

師：仍有12個正方形，每排5個，這是5的倍數(shù)嗎？擺擺看，為什么？（見圖11）

生：12個正方形，每排5個，會多出2個，所以12不是5的倍數(shù)。如果用算式表示12÷5=2.4，出現(xiàn)小數(shù)。即使不是小數(shù)，也會出現(xiàn)余數(shù)。

師：為了研究方便，以后探討因數(shù)和倍數(shù)都是自然數(shù)，0除外。

根據(jù)面的直觀，從數(shù)中想到形，通過不同擺法搭建不同的數(shù)學(xué)模型，從本質(zhì)上理解因數(shù)與倍數(shù)的概念。

2.應(yīng)用面的直觀，避免繁雜計算

例如，教學(xué)“1---………-=？”對于小學(xué)生來說，由于邏輯推理有一定難度，學(xué)生不容易明白。如采用幾何模型中面的直觀進行教學(xué)，學(xué)生都會輕松掌握。將上面的算式轉(zhuǎn)換成下面的幾何模型圖，把1個大正方形看成單位“1”（見圖12），然后按次平均分，很容易得出“1---………-=”這個結(jié)論來。

3.應(yīng)用面的直觀，理清數(shù)量關(guān)系

在面的直觀中，可以用平面內(nèi)所包含的元素數(shù)量及其面與面的關(guān)系來理清數(shù)量間的關(guān)系。

例如，有30個桃子，3只猴子吃了2天，平均每只猴子每天吃幾個？

學(xué)生嘗試解決時，列出了好幾個算式，但好多學(xué)生不明白其中的含義。為此，要求學(xué)生在長方形中表示各種算式的意義。學(xué)生經(jīng)過思考交流，給出各種答案。

（1）先平均分成2份，再將獲得的每一份平均分成3份，列算式30÷2÷3，見圖13。

（2）先平均分成3份，再將獲得的每一份平均分成2份，列算式30÷3÷2，見圖14。

（3）先平均分成6份，再將獲得的每一份平均分成2份，列算式30÷（3×2），見圖15。

用長方形表示數(shù)量之間的關(guān)系，是在畫線段圖基礎(chǔ)上的演變和創(chuàng)造。長方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學(xué)生很容易理清猴子數(shù)量、天數(shù)與桃子數(shù)量之間的關(guān)系。

又如，望湖社區(qū)居委會舉行“社區(qū)趣味運動會”，共有42人參加，其中28人參加飛鏢項目，14人參加沙包項目，有10人同時參加這兩個項目。這兩個項目都沒有參加的有多少人？

分析：用矩形平面部分表示全體運動員的集合，兩個圓面表示參加飛鏢項目和沙包項目運動員的集合，見圖16。

兩個圓面的重疊部分表示同時參加這兩個項目的運動員的集合，根據(jù)已知條件，這個集合有10人。由此可知：參加飛鏢項目而沒有參加沙包項目的有28-10=18（人）；參加沙包項目而沒有參加飛鏢項目的有14-10=4（人）。因此，兩個項目都沒有參加的有42-（18+10+4）=10（人）。當然，還可以這樣理解，28+14-10=32（人），42-32=10（人）。要求學(xué)生畫出圖形，并說說每個算式所表示的意思。

通過直觀演示，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考路徑形象外顯，非常直觀，易于學(xué)生理解。在此基礎(chǔ)上，如果教師要教學(xué)三三重疊，學(xué)生理解也就并不困難了。

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（編輯：易繼斌）