相關性分析
——一個計量經濟學的視角

羅　凱　吳　瑩

(廣州大學松田學院，廣東　廣州　511370)

?

相關性分析
——一個計量經濟學的視角

羅凱吳瑩

(廣州大學松田學院，廣東廣州511370)

摘要：本文從概率論的兩個例子出發構造了兩組數據，通過分析得到了決定樣本相關系數大小的一個因素——解釋變量的取值分布是否對稱，解釋了計量經濟學中相關性的含義，并給出了一個不相關但不獨立的例子。

關鍵詞：相關性；獨立；對稱

1.引言

在計量經濟學中，相關性是一個很重要的概念，在一般的線性回歸模型中，解釋變量與被解釋變量呈現出的便是一種相關關系。計量軟件一般不會直接給出度量相關性的統計量，但會給出一個與之聯系甚為緊密的結果——可決系數。雖然在計量經濟學中，相關系數與可決系數所表示的含義大相徑庭，但兩者的聯系如此緊密，以至于我們乍看時會有些許驚訝。具體一點說，如果我們用r表示相關系數，那么可決系數則為r2，用計量經濟學的語言：

所以我們可以用可決系數的大小來分析相關系數的某些特征，但在此之前，我們先引入兩個具體的例子。

2.兩個例子

例1.設X～U(-1,1)，即X服從區間(-1,1)上的均勻分布，則其密度函數為：

因此：

再令Y=X2，則：

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

=E(X·X2)-E(X)E(X2)

=E(X3)-E(X)E(X2)

=0

顯然，這里X與Y不相關。

例2.假設X～U(0，1)，即X服從區間(0，1)上的均勻分布，則其密度函數為：

因此：

再令Y=X2，則：

顯然，這里X與Y并非不相關。

下面我們將應用這兩個例子。

3.應用

利用上面的結論我們可以相應地構造出兩組數據：

X0.40.30.20.100.10.20.30.4Y0.160.090.040.0100.010.040.090.16

X00.10.20.30.40.50.60.70.8Y00.010.040.090.160.250.360.490.64

另外，我們還得到了一個不相關但卻不獨立的例子。很明顯，第一組數據不獨立，但它們卻是不相關的。我們還可以嚴格地證明這一點，也就是說，對于例1，我們可以證明：

P(X

其實我們可以求出隨機變量X的分布函數為：

隨機變量Y的分布函數為

所以：

P(X

而隨機向量(X，Y)的聯合分布函數為：

從而P(X

至此，我們證明了我們的結論：兩個變量不相關并不意味著獨立。

參考文獻：

[1]Damodar N.Gujarati， 2003.Basic Econometrics[M].4th ed.NewYork：McGraw-Hill Company.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.2011.概率論與數理統計教程[M].第二版.北京：高等教育出版社.

[3]嚴士健，王雋驤，劉秀芳.2009.概率論基礎[M].第二版.北京：科學出版社.