理解數學符號的意義，培養初中學生數學符號意識

摘要：羅素說過：“什么是數學？數學就是符號加邏輯”。 數學符號準確、清晰，具有簡約思維、提高效率、便于交流的功能。如果說“數學是思維的體操”，那么數學符號的組合則譜成了“體操進行曲”。數學課程標準對初中學生的數學符號意識提出以下要求：“能從具體情況中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序解決用符號所表示的問題。” 符號給數學理論的表述和論證帶來的極大方便，甚至是必不可少的。因此，學習數學的目標之一是使學生懂得符號的意義，會用符號解決實際問題和數學本身的問題，培養學生的符號意識。

關鍵詞：數學符號；意識；理解；培養

中圖分類號：G625.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）06-0212-01

學生在小學時的數學學習的思維是一種在具體物質結構上的感性思維，是一種具體的形象思維。隨著年齡增長，學生的思維水平和能力有所增長，也從形象思維慢慢像抽象邏輯思維過渡。于是課程的結構設置也從數的認識慢慢擴充到代數的思想。初中數學不再是單純的計算，從具體發展到抽象，從文字發展到符號，由靜態發展到動態，要求學生在認知結構上發生根本變化。初一階段是學生從數到代數的認識的過渡，也是學生培養數學符號的關鍵過程。

初一階段所接觸的數學符號概括起來只有四類——意義符號，性質符號，運算符號、關系符號。意義符號包括單字符的a，α、β、θ、△、∵、∴等等有一定特殊意義的符號；性質符號“±”表示數的正負；運算符號“||”、“+-×÷及an”“ ”“± ”表示要進行一定運算的符號；關系符號“⊥”“∥”“≥”“≤”“∽”“≌”。當然還有一些是前面幾種符號組合起來的公式型的符號，比如“a2-b2=（a+b）（a-b）”“（a±b）2=a2±2ab+b2”“若abc”等等。對于大多數意義型的符號和關系型的符號，意義單一學生理解起來比較簡單，應用起來也沒有大的障礙。而那些具有新意義的運算符號和公式結構的理解，學生就非常容易混淆。其中學習“數a”“±”“||”“ ”“a2-b2=（a+b）（a-b）”等公式型符號是整個符號意識培養過程中的難點。

1.理解同符多義，不同場景意義不同，用法也不同

比如“±”，過去他們只是代表加或者減，只是運算符號。學習了正負數之后，他們的意義發生了擴充。尤其是“—”，學生剛進入初中就遇到這個攔路虎。它代表三種含義——放在前后數起連接作用時表運算符號表，如2-3讀“2減3”；放在單獨一個數前面表性質“正或負”，比如剛才那個式子的值算出來就是2-3=-3；放在一個整體單項式或多項式前面表示取相反數，如-（2-3），表示2減3的相反數。 很多學生容易在相反數這個新意義上和負號弄混，因此當出現-a時，學生剛開始很難反應過來這表示a的相反數而錯誤的直接以為這就是個負數。

2.理解符號的運算意義，避免粗心易算錯

在整個初中階段，因為隱含意義而出錯的通常有“||”“a2”，而這兩個符號在初一階段都先后接觸到了。首先對于這兩個符號的理解，就是從概念出發，學生要意識到它們是運算符號，都具有非負性，也就是說算出來的結果都不會是負數。學生順向應用它們的運算符號可能問題不大，但是逆向運用時就容易忽略它們的隱含意義了。比如|x|=5，x2=5，任何數都可以求絕對值，任意數都可以求平方，而初學者往往會遺漏掉負的那一個解。

對于比較相近的幾個符號，求算數平方根“ ”、求平方根“± ”、以及求某個數的負平方根“- ”學生實際上也是很容易混亂的。在教學中，教師應反復訓練學生把文字語言轉化成符號語言以及把符號語言翻譯成文字語言的意識。否則我們就會遇到求16的平方根就是算±16=±4，在教學中我們發現學生常常會表示成16=±4這樣的情況。

“||”與“a2”“ ”都有一定的隱含意義，是具有非負性的，而“ ”具有雙重非負性。因此在解題時，就應該培養學生分析這些符號的隱含意義，由此找到解題突破口。比如“已知y=x-1+1-x，求x，y”以及“已知|x-2|+（y-2）2+z-2=0求x、y”在區別這兩個題的考點時，學生容易混亂。他們不知道這樣的題目是考察每一項整體的非負性還是用被運算符號所作用的里面的式子具有非負性，因此這些解答題的過程中書寫就非常的混亂，甚至不寫依據直接求答案。這一塊對于初一的學生就是個難點，甚至到了初三也不一定能熟練掌握。

3.理解符號運算的先后順序，避免亂算錯算

初一下學期很多運算符號都學完了，當各種符號綜合起來起來時學生容易出現運算順序混亂及其相關困難。從最初的有理數的計算開始——"先算乘方再算乘除最后算加減"的訓練時容易混亂，比如-（-3）2就會有孩子先處理兩個負號再取平方錯誤的得到9這個答案；比如“求36的平方根”，很多初學平方根的學生容易直接寫±6，其實他們就是沒有理解本題的考點在于先算36的算術平方根，再求其平方根。又比如符號運算典型問題：a2=|a|與（a）2=a的理解過程中，很多學生是通過代值驗算來得出的結論，而當學生真正理解清楚符號的隱藏意義及算法的先后區別之后，這兩者的區別就非常明顯了。

4.對代數結構的解讀應該更細致清晰，才能讓學生突破符號理解的難點

代數的實質是結構，學生只有把握好代數結構才能真正理解并應用公式。比如在不等式性質一節內容中“若a>b，c>0，則ac>bc”這里的a、b、c都可以是一個正數負數、零，也可以是一個代數式，而學生遇到用字母表示代數式的時候就容易出現困難。比如對“若a（c2+1）>b（c2+1），則a>b”的理解，學生會把條件和結論弄反，不太清楚是這個不等式兩邊分別除了一個大于0的數不等式方向不變的原理。又比如公式“a2-b2=（a+b）（a-b）”中，a與b沒有先后之分，只有符號相同和相反的區別，可是學生就容易從表面理解公式里的先后。比如（-3-2）×（3-2），學生就容易算成32-22。出現這些問題的原因就是初一學生對于代數公式的理解還處于感性模仿的水平，因此教師在教學中對代數結構的解讀應該更細致清晰才能讓學生突破符號理解的難點。

總之，初一學生學習數學符號一定要從感性到理性，然后靈活運用。重在理解符號的意義，符號意識的培養是在學習過程中逐步體驗和建立起來的。教師在實際教學中要不斷引導學生把文字信息轉化成符號語言，并不斷發展學生的符號認知能力和提高解決問題的能力，培養學生的語言組織與表達能力，通過對公式的變形處理，進一步增強了符號意識。

參考文獻：

[1] 鄭毓信 “數感”“符號感”與其它——《課程標準》大家談[J] 數學教育學報2002.11

[2] 劉雅琴.數學教學應注重培養學生的符號感[J].中小學數學，2006.

作者簡介：

周忠誠，本科，中教一級。 重要榮譽：本文收錄到教育理論網。