高職橢圓的標準方程教學的教學設計

陳忠東

【摘要】橢圓的教學抽象性較強，運算較繁瑣，高職學生往往難以接受，本文采用新的思路，類比學生熟悉的圓的方程，提出橢圓方程的猜想，并對猜想的正確性進行驗證，引導學生通過實驗、類比、猜想等方法進行探索式學習，可在教學中達到理想的教學目標.

【關鍵詞】橢圓；高職數學；教學設計

一、問題的提出

對于橢圓的標準方程教學，大都是教師以實例圖片引起學生探究什么是橢圓的興趣，然后教師在黑板取兩個定點，由學生動手操作，用一段細繩畫出橢圓，給學生直觀感知，再由學生討論能夠畫出橢圓滿足的幾何條件，得出橢圓的定義，再由橢圓的定義演繹推導出橢圓的標準方程.高職學生的數學基礎參差不齊，運用這種方法進行教學，抽象性較強，運算較繁瑣，其結果往往是教師吃力，學生覺得枯燥難學，提不起學習興趣甚至產生厭學的情緒.

學生在學習橢圓之前已經學習了圓的定義、圓的方程，了解了解析幾何基本思想，知道一些用坐標法研究幾何的方法；學生對橢圓也有直觀感性認識，會把“扁的圓”叫做橢圓.本文作者在教學過程中，采用新的思路，設計了簡便易行的“從圓轉化到橢圓”的實驗，引導學生通過實驗、類比、猜想等方法進行探索式學習，類比學生熟悉的圓的方程，提出橢圓方程的猜想，并對猜想的正確性進行驗證.通過這樣的教學設計，取得了一定的教學成效.下面就橢圓的標準方程的教學設計展開介紹和討論.

二、教學設計和過程

1.以生活為背景，通過實驗探究概念

通過學生的觀察和動手探究，可以對數學概念形成直觀感受，有利于概念的獲取.下面是這個實驗的課堂教學實錄：

請每兩位學生準備一個圓柱體的透明杯子（或瓶子），倒入半杯水，將杯子平放在課桌上，然后從杯子的正上方觀察水面的形狀.

師：請同學們觀察一下，現在的水面是什么形狀？

學生異口同聲地回答：是一個圓.

師：讓杯子向右（或向左）傾斜一個較小的角度，再看看水面是什么形狀？

大部分學生：是一個橢圓.

師：把傾斜的角度加大一點，看看水面的形狀發生了怎樣的變化？

生：水面還是一個橢圓，不過橢圓變得更扁了.

師：思考一下，隨著傾斜角度的加大，橢圓的形狀在左右方向上會發生怎樣的變化？前后方向呢？

生：傾斜角度越大，橢圓在左右方向上就越長，而在前后方向上不變（圖1）.

通過上述實驗，學生直觀地認識到，圓沿著一條直徑拉長可以得到橢圓，這樣得到的橢圓使我們看到了橢圓與圓的關系，可以引導學生在圓的知識的基礎上探索橢圓的知識.

此時再講述課本上橢圓的定義，學生比較容易接受.

2.類比圓的方程，猜想橢圓方程

圓的方程是學生已經熟悉的知識.我們可以將橢圓與圓進行類比，根據圓的方程，猜想橢圓的方程.

師：圓心在原點，半徑為b2的圓的標準方程為x2+y2=b2，方程兩邊同除以b2得到什么？

生：圓的標準方程變形為x2[]b2+y2[]b2=1.

師：把這個圓橫向拉長，使其在x軸上的半徑增大為a，在y軸上的半徑不變，仍為b，這就得到一個橢圓（圖2）.類比圓的標準方程，猜想這個橢圓的標準方程是什么？

生：x2[]a2+y2[]b2=1.

到此為止，學生通過自己動手實驗，認識了從圓到橢圓的轉化，并且利用圓的標準方程進行類比，提出了橢圓標準方程的猜想，激發了學生的學習興趣.

提出猜想是整個教學過程中重要的一步，但教學不能僅僅停留在這一猜想上.為了培養學生思維的嚴謹性，需要對上述猜想的正確性進行驗證.

3.根據橢圓的定義，驗證橢圓方程的猜想

由橢圓的定義可以驗證上述猜想的正確性，即推導出橢圓的標準方程.

驗證過程如下：

如圖3建立坐標系，焦點分別為F1（-c，0）和F2（c，0），設M（x，y）為橢圓上任一點，則|MF1|+|MF2|=2a，代入坐標，得（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，化簡，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.注意到a>c，記b2=a2-c2（b>0），可得x2[]a2+y2[]b2=1.這就驗證了上述猜想的正確性.

由于高職學生經過了實驗、類比和猜想等思維過程，特別是有了猜想作為基礎，對于猜想的驗證就會感到順理成章，進而體會數學的理性與嚴謹，激發學生對數學知識的熱愛.

進一步引導學生反過來將橢圓的標準方程與圓的標準方程進行比較，學生會發現圓可以看成是橢圓的極端情況.

通過從圓到橢圓的轉化，使學生利用新舊知識的聯系認識了橢圓及其標準方程，培養了學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力，達到了高職數學課堂上的素質教育目標，培養了學生的數學素養.

三、反 思

高職數學課堂教學必須打破封閉、固定的落后程式，教師要給學生充分探索空間，不要把學生的思考限制在教師預設的范圍內，在教學中采用以舊引新、新舊對比的方法，引導學生在舊知識的基礎上探索新知識，可以使學生感覺新知識的出現水到渠成，而過去熟知的舊知識又得到鞏固與深化，使學生把握新舊知識之間的聯系，從而得到系統化的知識.在橢圓的標準方程的教學設計中，還要充分了解學生的基礎和知識面，往往學生的難點不一定出現在本節所要理解的內容上，如推導橢圓的標準方程時，方程的化簡，在該環節上還要盡量推導細致一點才得以完成.

【參考文獻】

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社.2005.7.

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