錯例資源的有效性轉變探究

徐海燕

【摘要】 作為初中數學的一個重點內容，一元二次方程與一元一次方程一樣，都是整式方程，也是學生進行更深層次數學學習的基礎. 本文將對學生較易犯錯的題型進行具體的實例類型分析，以提高教師的教學水平和學生的學習能力.

【關鍵詞】 錯例資源；轉變；一元二次方程

在數學實踐教學中，我們常常會發現，無論是在課堂上還是課外作業練習中，學生所犯的錯誤基本上都是類同的，甚至有些同學對于同一類型的題目經常一犯再犯，需要改正多次才能做出題目的最終答案. 但長久以來，我們對于學生學習上所犯的錯誤始終沒有確定一種有效的理念和策略，不僅影響了學生的學習效率，還使教師的教學質量無法得到提高. 古人有云：失敗乃成功之母. 因此，我們要將學生在學習過程中所犯的錯誤當成一種寶貴的資源，要正確對待學生的錯誤，懂得“變廢為寶”的辦法，抓住學生錯誤思維中的合理因素，將錯例資源轉變為寶貴的教學資源. 在這里，我將以初中數學中的“一元二次方程”教學為例，對學生常犯的錯誤之處進行分析，實現錯例資源的有效性轉變.

一、忽視未知數及其系數的取值范圍

例 關于x的方程ax2 + 2x + 1 = 0有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍.

學生錯解 由題意知方程有兩個不等實數根，所以Δ = 4 - 4a > 0，解得a < 1，所以實數a的取值范圍為a < 1.

分析 題中講方程有兩個不等實數根，可以證明它是一個一元二次方程，所以，其二次項系數a ≠ 0，所以，實數a的取值范圍實際上是a < 1且a ≠ 0.

評析 對于此種類型的題目，一定要注意一元二次方程的隱含條件：① 二次項系數不為0；② 未知數的最高次數是2.

二、忽視方程根的判別式

例 已知方程x2 - （m + 3）x + 2m + 3 = 0有兩個實數根，且兩實數根的平方和等于11，求m的值.

錯解 因為方程有兩個實數根，所以可設方程的兩個根分別為x1和x2.

則有：x12 + x22 = 11，x1 + x2 = m + 3，x1·x2 = 2m + 3.

得（m + 3）2 - 2（2m + 3） = 11，

解得：m = 2或m = -4，

所以m的值為2或-4.

分析 在該題中，雖然已經知道方程的二次項系數1 ≠ 0，但是因為題目中已明確說明方程有兩個實數根，所以必須先對一元二次方程根的判別式進行判斷，即Δ ≥ 0. 當m = 2時，Δ = （m + 3）2 - 4（2m + 3） = -3，因為Δ ≤ 0，所以當m = 2時，一元二次方程沒有實數根；當m = -4時，Δ = 21，因為Δ ≥ 0，所以當m = -4時，一元二次方程有兩個不相等的實數根. 所以，m的值只能為-4.

三、對法則使用錯誤

例 已知方程（x - 1）（x + 2） = 2（x + 2），求方程的根.

學生錯解 將方程兩邊同時除以（x + 2），可得x - 1 = 2，解得x = 3，所以x = 3即為方程的根.

分析 由等式的性質可知，在等式兩邊同時乘（或除以）一個不為0的數或者整式，等式仍然成立. 在該題中，等式兩邊同時除以（x + 2），但x + 2可以為0，所以，學生在解題時失去了x = -2這個根. 正確的解法應該使用移項法，即（x - 1）（x + 2） - 2（x + 2） = 0，整理得（x + 2）（x - 3） = 0，解得x1 = -2，x2 = 3.

評價 對于該類一元二次方程，一般不主張在方程的兩邊同時除以含有未知數的代數式，否則解題時容易失根.

四、忽視實際問題對自變量范圍的要求

例 已知等腰△ABC，其三條邊分別為a，b，c，其中a = 10，如果方程x2 + （b + 2）x + 6 - b = 0有兩個相等的實數根，求△ABC的周長.

學生錯解 由題意可得Δ = （b + 2）2 - 4（6 - b） = b2 + 8b - 20 = 0，解得b1 = 2，b2 = -10，因為b為△ABC的邊，所以將b2 = -10舍去，所以b = 2.

又因為△ABC為等腰三角形，所以當c = b = 2時，△ABC的周長為14；當c = a = 10時，△ABC的周長為22.

所以△ABC的周長為14或22.

分析 因為當c = b = 2時，b + c = 4 < 10，此時構不成△ABC，所以只能是c = a = 10，所以△ABC的周長只能為22.評價 對于實際問題，在采用一元二次方程進行解題時，要對方程的解進行檢驗，不僅要檢驗方程的根是否符合方程本身，還要考慮方程的根是否符合實際常識等.

五、結 語

多次教學實踐證明，以上所述一元二次方程的題型為學生最容易犯錯的方面. 因此，為了使學生能夠更好地掌握和運用該部分的知識，教師要積極的對學生學習上所犯的錯誤進行分類總結，并陳列出較易犯錯的題目類型，真正地將錯例資源轉變為有效的教學資源，以提高學生的解題能力和水平.

【參考文獻】

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