數學思想方法教學的原則及其在數學分析教學中的體現

何天榮

摘 要：數學思想是人們對數學的理論和內容的本質認識，數學方法是數學思想的具體化形式。數學思想方法是數學的靈魂。每一門課都是蘊含有其特有的數學思想方法?！稊祵W分析》是大學數學專業非常重要的一門基礎理論課，在培養計劃中列為主干課程。該課程理論性、系統性強，有高度抽象性；知識點多，公式多；學生學習起來吃力；《數學分析》課程含有豐富的思想方法。本文結合數學分析課程教學及其思想方法，從三個方面闡述在實施數學思想方法教學時，應該遵循的原則。

關鍵詞：數學思想方法 原則 數學分析

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）05（a）-0000-00

1 化隱為顯的原則

由于數學思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但是如果不是有意識地把數學思想方法作為教學對象，在數學學習時，學生往往只注意到表層的數學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數學思想方法教學時必須以數學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達到思想方法教學之目的。

例如，在講定積分在求面積的應用時，我們知道面積公式是，這表示的是有曲線所圍圖形的面積，而在實際應用中，圖形的形狀會千變萬化，但無論怎么變化，面積總是由定積分的值表示。而定積分的值與兩個因素有關：積分限與被積函數；要確定出積分限首先必須規范畫出圖形，借助圖示就能確定出積分限。決定定積分值的兩個關鍵要素是積分限和被積函數，而積分限的確定必須要借助規范的圖形。在用定積分求解不規則圖形面積的過程中蘊含是數學思想方法叫數形結合的方法，教材中并沒有明確提出用什么方法來解決此類問題，這就需要教師的價值引導，學生通過解題過程的用心體會，反復多次訓練才能領悟得到。數形結合方法是數學教學中非常常見的方法。同時，將求不規則面積問題轉化為定積分求解問題的過程就化歸思想方法。實施數學思想方法教學，就要求教師按照“化隱為顯”的原則，對教材下一番改造的功夫。

2 循序漸進的原則

數學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學生深入理解事物之間的本質聯系。學生對每種數學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，是從個別到一般，從具體到抽象、從感性到理性，從低級到高級地沿著螺旋式方向上升的。

例如，導數思想的背景：數學背景是求過一已知點的曲線的切線方程問題；物理背景是求變速直線運動的瞬時速度問題?？此葡嗖詈苓h的兩個現實問題。解決他們的數學方法本質上卻是完全相同的，于是，就將這種數學問題抽象出來給它一名稱叫“導數”。然后從理論上研究導數的性質、計算后，研究它的應用，比如在經濟中的應用等。導數概念的產生就是從個別到一般、從感性到理性的過程。凡是用導數知識解決的實際問題體現的就是導數思想。定積分思想的背景類似于導數，它本來是解決曲邊梯形面積的數學方法，抽象出來研究之后又回到應用，有幾何方面的求面積、求體積、側面積、求弧長等應用，還有物理方面的許多應用。應用定積分知識解決現實問題的方法就是定積分的思想方法。

另外，每門課程都有其特有的思想方法，因此，思想方法的數學分析課程中的教學要與相應的課程知識相聯系，符合學生的知識發展水平。例如，導數教學的背景知識與導數思想、極限思想相結合。定積分的教學與積分思想、極限思想相結合。根據不同課程內容引導學生反復思考同一種思想方法，長此以往，學生會逐漸領悟到這種思想方法。例如，連續性概念的教學、導數概念的教學、定積分概念的教學、級數的教學都蘊含了極限思想。每次遇到函極限思想的內容是要引導學生明確這其中所蘊含是數學思想方法。

3 學生參與的原則

數學知識教學與數學思想方法教學有著顯著區別。數學知識教學時數學認識活動的結果的教學，呈靜態點型，重在記憶理解；數學思想方法教學是數學活動過程的教學，呈動態線型，重在領會應用；離開數學活動過程數學思想方法也就無從談起，只有組織學生積極參與教學過程，在老師的啟發引導下才能逐步領悟、形成、掌握數學思想方法。

例如，教師在講解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念時。因為學生已經熟知定積分概念的產生背景—求曲邊梯形面積的過程。所以，引導學生參與到教學中，與學生探討曲頂柱體體積的求解方法，通過探討，學生會發現解決曲頂柱體體積的數學方法與求曲邊梯形的數學方法類似，都是分割、近似求和、取極限三個步驟。所不同的是曲邊梯形中曲邊由一元函數表示，積分限是一條線段，表示成閉區間；曲頂柱體中曲頂由二元函數表示，積分區域是一個有界閉區域。于是，類似于定積分的討論，我們就將這種數學方法抽象出來，稱之為“二重積分”。同理，三重積分、曲線積分、曲面積分本質上都是“和式極限”可以用完全類似于定積分和二重積分的方法來研究，學生只要透徹理解了定積分的思想方法，講解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念時完全可以讓學生參與到教學中，在教師的價值引導下有學生得出結論。研究這幾個概念用到的數學思想方法是類比的思想方法；當然，其中還涉及到數形結合思想、化歸思想、函數思想、極限思想、積分思想等等。

在進行數學思想方法與在數學分析課程中的教學時，教師要給出機會讓學生參與到教學活動中來，通過教學活動，在教師的價值引導下讓學生感知數學分析課程中所蘊含的豐富的數學思想方法。例如，在極限概念的教學中，在講授數列極限的定義時，教師要通過數形結合思想、極限思想，透徹講解，當學生透徹理解了數列極限定義后。講到函數極限時完全可以讓學生參與到教學過程中，定義大同小異，讓學生通過畫圖，理解其幾何意義的同時領悟數形結合思想。至于函數極限有各種趨向、而數列極限只有一種趨向的問題，歸結為函數與數列的異同，其本質歸結為而二者定義域的不同。在教學中一定要尊重學生已有的知識和經驗，在函數極限教學時借助于數列極限知識的方法就是數學思想方法中的類比思想。類比思想方法在數學分析教學中也是非常常用有極好用的方法。

數學分析課程中蘊含有豐富的數學思想方法，函數思想、極限思想、數形結合思想、化歸思想、類比思想、定積分思想和導數思想方法等等。在教學中要注重思想方法的滲透，既可以增強課程內容的邏輯連貫性，例如極限思想就是貫穿整門課程的一條主線。又可以化抽象為具體，例如一旦理解了定積分的思想，就能理解曲線積分概念、重積分概念、曲面疾風概念等。只有領悟了課程所蘊含的思想方法，才真正學習到課程的本質。

參考文獻

[1] 顧泠沅.數學思想方法[M].北京：中央廣播電視出版社，2004.

[2] 華東師大數學系編.《數學分析》（第三版）[M] 北京：高等教育出版社 2010