請多一些通法，少一些特技

孔娟

【摘要】 “數學通法”實際上就是經過歸納得出的解決一類數學問題通用的方法. 在浩瀚無邊的數學題海中，如果把題都歸納成類，然后每類都有若干種解決問題的通用方法，那么我們的數學學習就是“心中有數”的學習，這樣才能提高學生的解題能力和解題效率. 本文通過解題通法中比較常見的消元法舉例，探討了提高學生解題能力的基本途徑.

【關鍵詞】 數學教學；解題通法；基本途徑

高中數學解題教學是數學課程教學的重要組成部分，數學解題方法一直是教師和學生關注的焦點，解題方法的優劣某種程度上決定著解題的速度與效率. 部分老師 標新立異，過分追求試題解法的“獨特新穎、多樣快捷”，而忽視了對基礎知識的梳理和對基本思想方法的訓練，舍本求末，讓人感覺有“矯揉造作”的痕跡. 而數學解題通法是研究數學乃至解決數學問題的有力工具，在解決數學問題時重視通規通法，有利于強化數學基礎知識，發展數學能力，培養良好的思維品質. 注重和加強數學解題中“通法”的訓練，是提高學生解題能力的基本途徑.

消元法是解題通法中比較常見的一種方法，其以減少變量為主要特征，也是學生容易接受的基本方法. 而部分教師在實際教學中卻經常忽視這一點，關注的卻是一些自認為很“高大上”的技巧性解法，教學效果沒有想象的那么好.

在進行對數運算教學中經常會遇到這樣的一道題：

例1 計算lg25 + lg2lg50 + （lg2）2

解法一 原式 = lg52 + lg2（lg5 + lg10） + （lg2）2

= 2lg5 + lg2lg5 + lg2 + （lg2）2

= lg2（lg5 + lg2） + 2lg5 + lg2

= lg2 + 2lg5 + lg2

= 2（lg2 + lg5）

= 2lg10

= 2

你在教學中是不是就這么給你的學生講解的呢？解法過程的第三步你怎么上來就想到提取lg2？你的學生知道嗎？即使知道，下次也是提取lg2嗎？

當我這樣很輕松地把這道題講完后，學生的作業卻讓我很吃驚！作業中有兩種結果：

（1）用課上老師的方法，很多學生都是半途而廢了；

（2）做出來的學生卻不是用的這種方法. 這值得我們反思.

解法二 原式 = lg52 + lg2（lg5 + lg10） + （lg2）2

= 2lg5 + lg2（lg5 + 1） + （lg2）2

= 2（1 - lg2） + lg2（2 - lg2） + （lg2）2

= 2-2lg2 + 2lg2 - （lg2）2 + （lg2）2

= 2

很顯然，學生是用了等式：lg2 + lg5 = 1，即lg5 = 1 - lg2進行了消元，可見這種消元的方法是學生容易想到和接受的，卻被我們忽視了，說明最適合學生的方法才是好方法！

例2 求值：tan21° + lan24° + tan21°tan24°

解法一 原式 = 1 - tan21°tan24° + tan21°tan24°

= 1

解法二 看見21°，24°學生容易想到特殊角45°，利用24° = 45° - 21°進行消元.

原式 = tan21° + tan（45° - 21°） + tan21°tan（45° - 21°）

= tan21° + tan（45° - 21°）[1 + tan21°]

= tan21° + ·[1 + tan21°]

= tan21° + 1 - tan21°

= 1

點評 解法一步驟很少，解題速度很快，是對公式tan（α + β） = 的變形使用，學生不容易想到；解法二，過程稍微煩瑣了點，但是是通解通法，是公式的直接使用. 教學時，教師應注重因材施教.

已知實數x，y，z滿足2x = 3y = 6z，求證： + =

解法一 令2x = 3y = 6z = k，

解得

x = log2k，y = log3k，z = log6k，

+ = + = logk2 + logk3 = logk6 = = ，所以，原式得證.

解法二 由2x = 3y = 6z得，x = log26z = zlog26，y = log26z = zlog26，則 + = + = + = ，得證！

變題 已知實數x，y，z滿足2x = 3y，4y = 6z，求實數x，y，z滿足的等量關系為 ，你還能用方法一來解決嗎？

點評 學生第一次看見解法一時，感覺這方法太好了，增加一個變量k，所有問題迎刃而解，題中本來就含有三個變量x，y，z了，一般的學生是不敢再設變量了.

而解法二是采用了消元的方法，出現三個變量時，用其中一個變量來表示另外兩個變量是較為普通的做法.

以上三個實例是我在教學中的一點心得體會. 如果我們在教學中能從學生的實際出發，站在學生角度去思考一下問題，會對教學有很大幫助. 一味地拔高不利于學生基礎的夯實，會讓一批學生害怕數學. 在教學中請您多一些通法的教學，少一些特技的展示，您將和您的學生走得更近！