例談中考數(shù)學中的開放性問題

廖朝煥

摘 要： 新課改的目的已不是將一切知識傳授給學生，而是要讓學生學會學習，學會思考，學以致用，打開思路，大膽創(chuàng)新.本文以近幾年中考數(shù)學試題中的開放性問題為例，搜集、歸納、分析、整理這類試題.通過對這類試題的分析和教學，引導學生探索和發(fā)現(xiàn)問題，并獨立地用所學知識解決問題.開放性問題的考查和教學為學生提供了廣闊的交流空間，對教師也提出了更高的要求.

關(guān)鍵詞： 問題解決 開放題 數(shù)學教學

培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力是當前推進素質(zhì)教育的重點.國家教育部在《初中畢業(yè)、升學考試改革的指導意見》中明確指出：“初中畢業(yè)、升學考試改革應有利于貫徹國家教育方針，推進中小學實施素質(zhì)教育……”數(shù)學考試應“設(shè)計一定的開放性問題”.正是由于各地認真貫徹執(zhí)行了這一意見和要求，因此在近幾年全國各地中考試題，特別是壓軸題中，開放性問題越來越受到命題者的青睞，也越來越受到廣大初中教師和學生的重視.開放性問題多出現(xiàn)于填空題和解答題中，要有條件開放，結(jié)論開放，策略開放，綜合開放等類型，它具有知識覆蓋面大，綜合性強，立意新穎，構(gòu)思精巧等特點，并有相當?shù)纳疃群碗y度.開放探究型試題具有答案不唯一的特征，它主要考查學生思維的靈活性、開放性和創(chuàng)新性，當然創(chuàng)新能力也離不開扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能.正因為如此，當前對數(shù)學開放性問題的研究已成為數(shù)學教學的熱點，而在中考試題中適當設(shè)置一些開放性探索性問題無疑對轉(zhuǎn)變觀念，改進教學，加強創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)都具有重大意義.現(xiàn)我結(jié)合近幾年中考數(shù)學試題中出現(xiàn)的開放性問題，對其略加分類和評析，供同仁復習時參考.

一、什么是開放性試題

開放性數(shù)學試題是相對于給出了明確的條件和結(jié)論的封閉型問題而言的.所謂開放性數(shù)學題通常指答案不確定或條件不完備，或具有多種不同解法，或有多種可能的解答等類型的數(shù)學問題.關(guān)于開放題的條件的有：不完備；可以多余；多余需選擇；不足需補充，等等.關(guān)于開放題的答案（結(jié)論、解法）的有：不固定；有多種；不唯一；不必唯一；不確定；不必有解，等等.因此，開放題的一個顯著特征是：答案的多樣性（多層次性）.此外，有些資料上把某些探索性問題也歸入開放題，雖然對探索題的研究具有公認的意義，但在討論與研究開放題的時候，是有必要把這兩者加以區(qū)別的，但是開放題與探索題的密切關(guān)系也是不可否認的.

二、近幾年中考數(shù)學試題中的開放題類型

由于開放題在中考中具有其他試題所不可替代的功能，因而備受命題者青睞.從近幾年的中考試卷來看，有以下幾類：

（一）條件開放型試題

條件開放型試題主要是指問題的條件開放，即問題的條件不完備或滿足結(jié)論的條件不唯一.解決此類問題的思路是從所給結(jié)論出發(fā)，逆向探索，逐步探尋其合乎要求的一些條件，從而進行邏輯推理證明，確定滿足結(jié)論的條件.

例1：如圖1，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，當添加條件：時，就可得到△ABC≌△FED（只需填寫一個你認為正確的條件）.

說明：開放題的一個顯著特點是：答案的不唯一性，我們只需給出能使結(jié)論成立的一個答案即可.探求條件的過程，是一個由果索因的過程，這是數(shù)學中一種重要的解題方法——分析法.

例2：試寫出一個關(guān)于x、y二元一次方程組，使其解為x=2，y=4，符合要求的方程組為.

分析：我們只要構(gòu)造出既含x又含y的兩個二元一次方程.構(gòu)造方程實際上就是尋找x與y之間的數(shù)量關(guān)系.

說明：方程與函數(shù)有著緊密的聯(lián)系，如果我們把方程組的解看做對應于平面直角坐標系中的一個點A（2，4），則可以寫出過這個點的任意兩個一次函數(shù)的解析式（也是兩個二元一次方程）.

本題在解法上可以用代數(shù)的方法來解，也可用幾何的方法來解（形數(shù)結(jié)合——一種重要的數(shù)學思想方法）；可以用待定系數(shù)法，運用演繹推理的方法來解，也以可用直覺思維的方法來解，所以本題既是一個條件開放題，又是一個策略開放題.

（二）結(jié)論開放型試題

結(jié)論開放型試題就是給出問題的條件，根據(jù)已知條件探究問題的結(jié)論，并且將符合條件的結(jié)論一一羅列出來，或者對相應的結(jié)論的“存在性”加以推斷，甚至探求條件變化中的結(jié)論，這些問題都是結(jié)論開放性問題.解決此類題目要求利用條件大膽而合理地猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論；其基本解題思路是：首先認真剖析題意，充分挖掘題設(shè)信息，再由因?qū)す樝蛲评砘蚵?lián)想，最后獲得所求結(jié)論.

例3：在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點P在x軸上，若以P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（ ）

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

分析：本題主要考查了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學思想.

例4：如圖2，以等腰三角形ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論DE是⊙O的切線.

問：（1）若點O在AB上向點B移動，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓仍交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立？請說明理由.

（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切？

分析：（1）連接OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，從而可得OD⊥DE，結(jié)論仍然成立.

（2）若⊙O與AC相切，設(shè)切點為F，連接OF，則由Rt△AOF中可求得OF=，即OB=.（解題過程略）

說明：本例的兩小題都屬于結(jié)論不確定性的開放性問題.第1小題是直接從題設(shè)條件出發(fā)探求結(jié)論是否成立；第2小題是從題設(shè)的結(jié)論出發(fā)來探求結(jié)論成立的條件，這也是解決這類問題的常用方法.

（三）綜合開放型試題

所謂綜合開放型試題，是指只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論都要考生到情境中自行設(shè)定或?qū)ふ业膯栴}.綜合開放型試題，較多地關(guān)注考生創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力與數(shù)學應用意識.

例5：某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件.已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利1200元.

（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計出來；

（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤為y（元），其中一種產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

分析：本題主要考查考生對一元一次不等式組的應用，求一次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的應用等考點的理解.

參考文獻：

[1]羅養(yǎng)賢.初中總復習指導——數(shù)學.廈門：鷺江出版社，2013.

[2]李建周.中考總復習指導——數(shù)學.福州：福建人民出版社，2016.