高中數學概念構建的有效途徑

吳明明

[摘 要] 高中數學教學中，概念教學的時間和空間常常會被解題教學所侵占，而實際上學生對概念的構建直接影響到數學學習的效果. 從建構主義學習理論出發，借助于建構的概念來思考高中數學概念的教學，再結合傳統高中數學教學的優秀策略，可以發現借助問題鏈的設計，借助于數學模型，借助于數學問題解決的過程，可以有效幫助學生構建數學概念，從而促進有效教學的實現.

[關鍵詞] 高中數學；概念教學；概念構建；有效途徑

高中數學教學中，概念作為數學理解的基礎，在實際教學中受到高度重視.同時，數學概念又因為對實際數學問題的解決一定程度上缺乏直接關聯性（用數學教師的話說，很少有直接考數學概念的題目），因此實際教學中又常常會通過壓縮概念教學的方法，來為數學解題提供時間. 作為一線教師，筆者深知這一策略背后有著某種無奈的心態，而尋找更為有效的數學概念教學的方法，也成為一線教師的必然之舉.

在有效教學的語境之下，有效的數學概念構建自然會成為一個研究話題，借助于“構建”這一詞語，是吸收了建構主義學習理論的觀點，是試圖從學生的角度來把握數學概念構建的有效策略.實際教學中，筆者結合相關理論成果，尤其是結合對學生在數學概念學習中的觀察，總結出這樣的幾點，懇請專家同行批評指正.

問題鏈促進學生新舊概念的轉換

問題鏈這個概念相信同行并不陌生，所謂問題鏈，就是圍繞一個主題，通過層層遞進式的問題的逐步提出與解決，以讓學生在自身邏輯思維的作用之下，完成思維的不斷深入. 高中數學概念學習的過程，顯然是一個思維高度參與的過程，若借助于問題鏈，則可以讓學生在新舊概念的轉換中完成對新概念構建. 而新舊概念的轉換既是傳統數學研究的范疇，也是建構主義學習理論重點關注的內容，因此從教學理論的角度來看，這樣的概念教學思路也是與理論有著一致性的.

現以“函數的周期性”（普通高課程標準實驗教科書數學4必修）這一教學內容為例. 函數的周期性作為函數的性質的學習，其以“周期性”的概念界定周期函數所表現出來的f（x）=f（x+T）的性質，在實際教學中從學生的角度出發，需要關注學生原來所學過的部分概念，如函數概念是否理解，什么叫周期是否清楚明白，是否能夠熟練地利用函數圖象去構建函數的性質等，是否清楚三角函數的基本特征，是否知道基本三角函數的圖象等；同時又要注意新概念的內涵與外延，如周期函數的圖象可能呈現出什么樣的特點，用周期函數來界定一種函數的性質具有什么樣的概念性意義等.

在以上分析的基礎之上，教師可以設計這樣的問題鏈：什么是函數？什么是三角函數？能否清晰地回憶起三角函數的概念？能否順利地作出三角函數的圖象？是否記得誘導公式？以正弦函數的圖象為例，如果要作出較大定義域內的正弦函數的圖象，你是不是全部選用描點法作圖？（這個問題的解決可以給學生一段時間，讓學生自己去體驗實踐）如果不是，那你會選擇什么樣的方法？在作圖的過程中你會有什么樣的新的發現？這種發現可以用什么樣的概念來進行描述？如果要用數學語言來完成這樣的描述，那需要構建出什么樣的數學概念？

這一系列問題的問出，可以讓學生在原有數學概念的基礎上完成周期函數概念的構建，而對像最小正周期這樣的概念也可以順利地完成構建. 教學實踐表明，學生在此過程中，他們的思維是步步進入的，起初的問題可以促使人與人之間有效地回憶以正弦函數為思維加工對象的概念、圖象以及描點法作圖等作圖方法，這是舊知的再次清晰呈現；在此基礎之上，借助正弦函數的作圖，學生可以有指向性地體驗到該函數周期性的存在，但此時又不會直接想到用周期這一概念去描述這一特點. 但正是因為有了這樣的實踐基礎，他們的思維已經聚焦到函數的周期性上，所以待教師問出新的問題之后，他們會迅速地將這些性質與周期聯系在一起，于是周期函數水到渠成.

在教學實踐中筆者還發現，這種借助問題鏈促進學生新舊概念發生轉換的教學方式，還可以有效培養學生的數學遷移能力. 譬如再讓學生去分析余弦函數的時候，絕大多數學生幾乎都能很輕松地將在正弦函數中獲得的周期性認識遷移到余弦函數當中去. 另外，考慮到這一方式也是傳統教學與現代教學理論都強調的方式，因此在實際教學中需要高度重視、經常使用，這在客觀上也可以培養學生的數學學習品質.

數學模型輔助學生完成概念構建

數學模型是高中數學教學研究中的一個熱詞，通常情況下數學模型更多地在數學問題的解決中得到廣泛的使用，相對而言在數學概念的構建過程中則應用較少. 事實上，數學模型作為一種重要的數學學習思想，應當貫串于數學學習的每一個環節，數學概念的構建作為重要的數學學習環節，數學模型及其思想應當發揮更為重要的作用.

這里首先強調一下數學模型的意義.眾所周知，數學概念具有的最大特點就是抽象性，而抽象性對于高中學生來說雖然符合思維特征（高中學生的思維特點已經由形象思維轉向抽象思維），但是一個更為重要的認識是，當學生在數學學習中遇到抽象思維難以加工的對象時，他們還是會習慣地將思維轉向形象的角度上來，這就意味著一定程度上的模型構建，應當成為高中數學學習的重要方法與手段.于是在數學概念的教學中，數學模型的建立與應用就應當成為數學教學研究的重點內容.

同樣如函數的性質的教學，在學習函數的奇偶性的時候，筆者發現雖然說奇偶性這一概念構建并不復雜，但對于班上的少數學生而言，他們每次在運用函數的奇偶性進行相關問題的判斷時都會出錯. 原因出在哪里呢？筆者在每次這幾個學生出錯之后都會分析他們出現的錯誤答案，然后再與他們溝通，結果發現他們在構建函數奇偶性的時候還是出現了問題. 他們對于理解f（-x）=f（x）、f（-x）=-f（x）這樣的關系式實際上是有困難的，他們不知道括號里的負號為什么有時候沒有了，有時候又跑到了外面. 對于這部分學困生而言，要解決這一問題，筆者以為關鍵就是幫他們建立函數的奇偶性的形象模型. 這種模型的選擇可以是具體的例子，如可以借助教材后面的例題的思想，給出某個函數在第一象限的圖象，然后讓其根據奇偶性去作出另一半的圖象. 這是一個將函數奇偶性轉換為具體圖象的過程，學生的思維可以將抽象的解析式的計算，轉換成基于圖象的判斷，對于這部分學生來說，是一種很好的概念構建方式，而其背后的思想實際上就是數學模型.

事實上，這個模型本身并不復雜，關鍵是要讓這部分學生習慣于依賴這樣的模型去理解函數的奇偶性. 一旦此習慣形成，那學生就可以順利地進行更多數學概念的構建. 而此時需要強調的一個觀點是，數學模型并不完全是那種具有極強模型特征的對象，更多的時候借助學生熟悉且思維更易加工的對象去完成概念的構建，往往是數學模型思想更重要的體現.

學以致用奠定學生概念構建基礎

學以致用是高中數學教學的基本思路，一般來說這里致用往往是指數學習題的解答，在這個過程中當然會有數學概念的運用過程. 但如文前所說，此時的運用過程中，概念往往都是充分的幕后角色. 而相當一部分學生也就是因為概念不清而在解題過程中出現諸多困難，而教師由于教學進度等原因，又不愿意停下來再跟學生強調數學概念是怎么回事，于是對于相當一部分學生而言，此時的數學問題解決就成為一個機械的灌輸過程.那么，在此過程中能不能再有機地滲透數學概念的構建呢？筆者對此進行了借鑒、學習與嘗試.

有這樣的一道習題：求（1+cotα-cscα）（1+tanα+secα）的值. 這是一道三角函數的習題，也是一道具有一定難度的習題，如果從純粹的三角函數變形的角度來完成此題的求解，那本題對于絕大多數學生來說都是一個攔路虎. 遇到這種問題怎么辦？事實證明此時很少有學生能夠從三角函數概念及其定義的角度來完成本題的解答. 反之，如果將問題解決的目光返回到三角函數概念本身，通過構建單位圓的方式，來將原題中的cotα、cscα、tanα、secα轉換成等，則可以代入之后順利發現最終的結果是2. 而在教學中，當學生發現最后的答案竟然是如此簡單，而過程又是如此清晰之時，學生的驚訝之情溢于言表. 這個時候筆者引導學生反思：為什么這個方法就如此巧妙？學生在深思熟慮之后則會發現，其實就是在太多的三角函數的試題解答之后，忘記了三角函數本身在概念學習中的定義了. 由此可見，在數學問題的解決過程中，適當地從概念本身出發，從概念的定義出發，可以有效地構建數學概念的教學.

綜上所述，高中數學教學中，概念教學既是一個基礎性工作，同時又是貫串整個數學學習過程的工作，要從問題設計的角度，從數學模型及問題解決的過程中完善概念教學，這樣才可以促進學生對數學概念的有效構建.