“錯例分析”在高中數學教學中應用的實踐與探索

陶蕊

[摘 要] “以學生發展為本，人人獲得良好的數學教育、不同的人在數學上得到不同的發展”是我們在數學教學中必須體現的新課程理念，這就需要我們正確把握學生的起點，了解學生，研究學生，讀懂學生. 錯例為我們研究學生提供了一個獨特的視角. 它是學生思維的真實暴露，是學習知識的第一反饋，蘊藏著豐富的教學資源，具有巨大的研究價值. 本文就以一題為例淺談錯例分析在高中數學教學中應用的實踐與探索.

[關鍵詞] 錯例分析；實踐；探索

概念的界定

錯例分析：以學生錯例為載體，從錯因探究、解法探究、評價與反思、拓展與記錄等方面剖析錯例，幫助學生完善知識漏洞、優化解題方法、排除思維障礙，優化思維品質、提升解題能力，促進教師專業成長.

現階段錯例分析在教學中應用的現狀

（一）對待錯例沒有正確的態度，導致產生恐錯心理

師生沒有正確的錯誤觀，學生的錯誤往往被視為恐怖的東西，一味地排斥抵制它的產生，造成學生心理的、精神的不安全感，控制思維與想象的自由，使錯誤成為失敗的根源.

（二）學生對錯例不重視，導致一錯再錯？搖

學生對待錯例不夠重視，不知自己真正錯誤的原因，導致知識的不完善，方法的不優化，遇到同類問題，依然是一錯再錯.

（三）教師蜻蜓點水式的錯例研究，導致資源浪費

部分教師對錯例的研究僅僅局限在表面、蜻蜓點水，沒有深入地挖掘錯例背后的教學價值，使得錯例沒有得到合理的開發與利用，導致極好的教學資源白白浪費.

（四）錯例的記錄與監督的力度不夠，導致資源浪費

部分教師有研究錯例的意識，但是對錯例的監督力度不夠，沒有將錯例記錄在案，沒有合理的檢測機制，導致資源浪費.

錯例分析的目的與意義

（一）樹立正確的錯誤觀

錯例分析有利于端正師生對錯誤的態度，形成正確的錯誤觀. 正視錯誤、挖掘在錯誤解決過程中的積極因素，激發學生的積極學習情感，促進學生和諧發展.

（二）幫助學生修補知識漏洞，排除思維障礙，優化思維品質

以錯例為載體引導學生從錯中求知、從錯中探究，在錯誤中完善知識體系，修補知識漏洞，讓學生在糾錯、改錯中排除思維障礙，感悟道理，領悟方法，優化思維品質，實現創新.

（三）促進教師改進教學，提升業務水平

通過錯例分析，教師可以窺見自己教的不足，可以發現學生學的缺漏，從而及時調整教學策略，有效開展教學補漏.

（四）形成錯例資源庫，實現資源共享

以錯例分析為載體，指導學生建立數學錯題集，還可以借助網絡系統建立錯題資源庫，將平時易錯的問題進行歸類整理，舉一反三. 并將其上傳資源庫，同時在資源庫中還可以共享別人的易錯問題，防止自己犯錯，起到借鑒、共勉的效果.

錯例分析在高中數學教學中應用的實踐與探索

差錯人皆有之，而作為教師，對學生的錯誤不加以利用，則是不能原諒的.錯誤在學生的學習中隨處可見，是其成長過程中無法回避的. 教師要正視學生的錯誤，把教學的目光鎖定在學習中出現的錯誤，透析錯題背后所蘊含的價值，加以研究、開發與利用，將學生的錯誤變成寶貴的教學資源，發揮其寶貴的教學價值. 下面就以一題為例淺談筆者在教學中對錯例分析的實踐與探索.？搖

案例呈現：設直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程. （試題來源于必修2，作業本63頁第9題）

（一）錯因探究，創建探究課堂

布魯納說：“學生的錯誤都是有價值的.” 學生出錯的原因也是有價值的，挖掘錯誤背后的教學價值，在學生的錯誤中能夠暴露出學習中薄弱的地方，暴露出知識的漏洞. 教師要立足學生，與學生一起探究錯誤的原因，即為什么會出現這樣的錯誤？只有找出錯誤的癥結所在，對癥下藥，才能幫助學生完善知識漏洞，才能使學生在以后的學習中避免一錯再錯.？搖

1. 錯例展示，暴露思維歷程

記錄學生在解決問題中的錯誤解法，展示學生的思維過程.在錯例中尋找共性與個性，利用學生的錯例幫助一部分學生糾錯，也幫助一部分學生防范錯誤，能起到防微杜漸的作用. （見表1）

2. 探討糾錯，消滅錯誤根源

皮亞杰說：“學習是一個不斷犯錯誤的過程，同時又是一個不斷通過反復思考找到錯誤的緣由并逐漸消除錯誤的過程.” 這使我們不難發現：（1）學習是一個比較長的、不斷的糾錯過程，糾錯是學習中不可缺的一部分，是達到學習目標的一種有效手段；（2）糾錯行為的主體應該是學習者本人. 所以在平時錯題講解中要設立糾錯環節，給學生提供糾錯的機會，滿足學生的心理需求. 讓學生在互相爭辯、討論中逐漸認識到錯誤的根源，發現問題的本質，找到解決問題的方法，探求其產生錯誤的內在因素，將知識內化.

學生：解法1中由a-2=得出a+1=1，還有可能是a-2=0，所以a=0或a=2.？搖

教師點評：這類學生的錯誤主要是轉化不等價，等價轉化是高中數學中非常重要的思想方法，在做題時大部分題目致錯根源在于進行了不等價轉化，所以在平時做題時要有意識地關注自己是否是等價轉化.

學生：解法2中還有可能是截距為0，也就是直線可能是過原點的. 所以將原點帶入直線方程（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），可得2-a=0，所以a=2.

教師點評：這類學生是對截距的概念理解有誤，學習數學概念時，經常會出現由于理解不正確或不全面，縮小或擴大了概念的內涵或外延. 這類錯誤的原因多是：對數學概念未能真正理解或相近概念互相混淆等，本題中截距可正、可負、也可為零.

（二）解法探究、優化思維品質

魯迅說：“一千個讀者，就有一千個哈姆雷特.”不同的學生在處理同一問題時也會有不同的處理方法. 因此教師在面對學生的錯誤時要立足于學生、正視學生的差異，從學生不同的解法中發現學生思維的漏洞、誤區，引導學生在錯誤中尋求到正確的方向，促進學生的思維水平有層次、有步驟地向更優化的方向發展. 教師要善于將學生體現出的好思路、好方法進行整理歸類，及時點化，起到畫龍點睛的作用. 引導學生在差異解法中取長補短，在差異中豐富和拓展自己，用這種差異性資源促進教學主體間的互動、協作和教學相長. （見表2）

教師：本題上述兩種解法已經得到修正，除此之外有無其他解法呢？

學生：本題中的直線（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）可化為a（x-1）=-x-y-2，令x-1=0，-x-y-2=0得x=1，y=-3，所以直線過定點（1，-3）.

又因為截距相等，所以直線過原點或斜率為-1，所以直線方程為y+3=-（x-1）或y+3=（x-1）=-3（x-1），？搖？搖即y= -x-2或y=-3x.

以錯例分析為載體，開展一題多解，即一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有利于調動學生的學習積極性，在教師的啟發、引導下，對一道題學生可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學們合作、爭辯、探究、交流的場所，它能極大提高學生的學習興趣；有助于拓寬解題思路，提高學生的發散思維能力和分析問題、解決問題的能力. 因此在錯例分析中教師要有意識啟發、誘導學生從不同的角度去思考，多方探求，擇優選取，培養學生的創新意識和創新思維能力，幫助學生積累解題經驗，豐富解題方法，學會如何綜合運用已有的知識不斷提高解題能力.

（三）錯例評價，培養學生的思維能力

1. 學生評價，提高思維能力

現代教學論認為：學生在課堂中不僅要主動參與學習活動，還應參與對學習成果的評價. 如果缺少評價，就是不完全的學習. 但如果結論都需要他人點撥，教師講解才能得到，就限制了學生的思維空間. 有一些學生，過分依賴互評和他評，造成在老師講解時會做，在他人指點后會做，可到了要自己獨立完成時卻無從下手、屢屢出錯的現象，而這樣的學生平時往往就缺少“自評”的體驗. 因此，教師要在錯例互評、他評的基礎上多鼓勵和提倡學生自我評價錯例，讓學生在思索、感悟、內化的過程中，提高思維能力.

解法1的學生自評：我的方法主要錯在忽略了截距可以等于零，運算中轉化不等價，導致了漏解，相對于解法2與3，我的解法可能計算量大了一些.幾何法會更好一些.

2. 教師評價，促進學生發展

這是指以促進學生發展為基點，對學生在解題中呈現出的偏差或失誤及好的思路與方法、情感、態度等給予合理的評價，挖掘其教育教學價值，幫助學生修正偏差、完善自我、發展能力.

教師評價：三種解法體現三種不同的思路.解法1體現代數計算，由截距的概念計算出截距，令其相等即可求出直線方程；解法2與3體現了數形結合思想，從圖形的角度得出截距相等的兩類直線特征：過原點或斜率為-1，從而求出直線方程. 三種方法體現了數學的兩個方面：代數與幾何. 所以在做數學題時一定要數形結合，相對代數來說幾何法更簡單.

（四）錯例反思，提升能力

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學思維活動的核心和動力. 在新課程實施中，教師需要成為反思型教師，學生需要成為反思型學生. 反思是一種習慣和意識，不斷反思，才會不斷進步. “教學相長”提醒我們要學會反思差錯，師生在課堂中共同成長，創建美麗的課堂.？搖

1. 學生反思，提升數學能力

美國教育家杜威指出：“真正思考的人從自己的錯誤中汲取知識比從自己成就中汲取的知識更多，錯誤與探索相聯姻，相交合，才能孕育出真理.” 教師要以錯例為載體，幫助學生學會反思，反思自己犯錯的原因、反思問題的解法等，并且通過分析原因找出自己在學習上的不足、彌補漏洞，優化解法，提升數學能力.？搖

2. 教師反思，促進專業成長？搖

美國教育心理學家波斯納提出了一個教師成長公式：教師成長=經驗+反思.在新課程形勢下，一個稱職的教師，決不能“教書匠”式地“照本宣科”，而要在教學中不斷反思，不斷學習. 反思學生解題中所暴露出的問題，調整教學方向，修正自身的不足之處，提升教學的有效性.

（五）錯例變式拓展，提升能力？搖

將錯例從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景進行變式，從而暴露問題的本質特征，揭示不同知識點之間的內在聯系，通過變式錯例，可達到一題多用、一題多解、一法多用、多題歸一的效果，提升學生解題能力.

設直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程.

變式拓展1：設直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若直線與兩坐標軸圍成面積為4的三角形，求l的方程.

變式拓展2：設直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），當原點到直線l的距離最大時，求l的方程.

（六）錯例記錄，資源共享

1. 教師記載錯例，促進有效教學

錯例是教師教學的第一手資料，是寶貴的教學資源.要將典型的錯例記錄在案，形成資源，實現共享. 利用錯例，教師就能了解該知識點上學生可能出現的錯誤，目標設定與教學設計時的針對性大大增強；利用錯例，教師能反思自身的不足，調整教學策略；利用錯例不定期地對學生進行對比練習，強化訓練，大大提升教學的有效性.

2. 學生整理錯例，降低出錯率

以錯例分析為載體，指導學生收集錯題，并將錯題歸類整理；建立錯題集，用好錯題集. 一本好的錯題集就是自己知識漏洞的寶典，就是重要的復習資料，經常翻看錯題集，反思自己錯誤所在，可以大大降低學生的錯誤率. 雖然每位學生的錯題集不盡相同，但是學生的錯題集的優點是可以相互借鑒的，交換錯題集就是實現了資源共享.

富蘭克林說：“寶貝放錯了地方便成了廢物.” 學生的錯例就是教學中的“寶貝”，教師要將這個“寶貝”當作一種教育的契機，將“寶貝”放在合適的位置，積極地分析與利用這個“寶貝”，努力讓這個“寶貝”成為課堂教學的一個亮點，發揮其應有的價值，變成寶貴的課堂教學資源. 優化課堂教學，提高課堂教學效益.