數列通項公式和前n項和的求法

張鼎峰

【關鍵詞】 數學教學；數列；通項公式；前n項和；求法

【中圖分類號】 G633.6

【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2016）04—0122—01

一、數列通項公式的求法

1. 通項法：當我們明確該數列是等差數列或者是等比數列時，可以直接通過等差數列的通項公式an=a1（n-1）d，或者等比數列的通項公式an=a1qn-1求得.

2. 觀察法：

例 （1）2，4，6，8，……參考答案：an=2n

（2）1，2，1，2，……參考答案：an=

（3）1，11，111，1111，……參考答案：an=

3. 做差法：

（1）由Sn=f（n）求an

例 已知Sn=n2+1，求an.

提示：由an=S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2可求得an=2，n=1

2n-1，n≥2

（2）由Sn=f（an），求an

例 已知Sn=2-3an，求an.

提示：由Sn+1=2-3an+1

Sn=2-3an得an=·

n-1

4. 迭代法：

（1）迭加法：

例 已知a1=3，an+1=an+2n，求an.

提示：由an+1=an+2n得，an+1-an=2n.

∴a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，……，an-an-1=2n-1.

上述n-1個式子相加得an=2n+1.

（2）迭乘法：

例 已知a1=3，an+1=an·2n，求an.

提示：由an+1=an·2n得=2n.

∴=2，=22，=23，……，=2n-1.

上述n-1個式子相乘得an=3·2.

5. 倒數法：

例 已知a1=1，an+1=，求an.

提示：由an+1=得-=，∴

是以=1為首項，為公差的等差數列，∴=1+（n-1），∴an=.

6. 構造法：

例 已知a1=4，an=3an-1-2（n≥2），求an.

提示：設an+t=3（an-1+t），展開后得an=3an-1-2t，與an=3an-1-2對比，可得2t=-2，∴t=-1，∴an-1=3（an-1-1），∴數列an-1是以3為首項，3為公比的等比數列，∴an-1=3·3n-1=3n，∴an=3n+1.

二、數列的前項求和方法

1. 公式法：

當明確該數列是等差數列或者是等比數列時，可以直接通過等差數列的求和公式Sn==na1+，或者是等比數列的求和公式

Sn=na1，q=1

=

，q≠1

2. 裂項法：

例 已知an=，求an的前n項和.

提示：an==（-）

∴a1=

-，a2=

-，a3=

-，……，an=

-，上述n個式子相加得Sn=.

3. 分組求和法：

例 求1，3，5，……的前n項和.

提示：Sn=[1+3+5+……+（2n-1）]+

+

+

+……+

=n2+1-.

4. 錯位相減法：

例 求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1

提示：當x=0時，Sn=1；

當x=1時，Sn=1+2+3+……+n=

當x≠0且x≠1時，

Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1 （1）

xSn=x+2x2+……+（n-1）xn-1+nxn （2）

由（1）和（2）得（1-x）Sn=1+x+x2+……xn-1-nxn=-nxn

∴Sn=-

綜上所述，Sn=

，x=1

-

，x≠1

編輯：謝穎麗