初中數(shù)學(xué)教學(xué)中《圖形與變換》的習(xí)題教學(xué)

趙婷婷

摘要：《圖形與變換》是初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中關(guān)于平面圖形和空間變換的一種知識(shí)體系，旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何邏輯能力和空間思維能力。本文將實(shí)際的初中數(shù)學(xué)習(xí)題作為研究案例，分別對(duì)《圖形與變換》課程體系中的基礎(chǔ)性習(xí)題和輔助線的添加方法進(jìn)行了全面而深入地分析探討。希望能夠在文中為初中的數(shù)學(xué)教師們提供相關(guān)方面的解題依據(jù)和教學(xué)參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)教學(xué)；《圖形與變換》；習(xí)題教學(xué)

中圖分類號(hào)：G61文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）03-0066-01在初中數(shù)學(xué)當(dāng)前的課堂教學(xué)過程中，習(xí)題教學(xué)是最常用也最有效的一種教學(xué)方式。新課標(biāo)改革強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和提高。數(shù)學(xué)中的習(xí)題教學(xué)既能幫助學(xué)生迅速掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧，又可以在潛移默化中挖掘和激發(fā)出學(xué)生在數(shù)學(xué)思維上的實(shí)力與潛力。尤其是《圖形與變換》這一單元的習(xí)題教學(xué)，對(duì)學(xué)生在幾何圖形數(shù)學(xué)思維上的空間想像能力和推理邏輯能力都有著正面的積極影響。

一、圖形與變換基礎(chǔ)習(xí)題的案例教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)《圖形與變換》基礎(chǔ)習(xí)題的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生舉一反三和一題多解的思維方式。通過極具變化性的平面幾何圖形和立體的變換關(guān)系，提高學(xué)生數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的空間想像能力和邏輯思維能力。

以圖形變換基礎(chǔ)數(shù)學(xué)習(xí)題中的翻折問題為例，這是中考數(shù)學(xué)試卷上的一種常見題型，主要考察初中學(xué)生對(duì)平面幾何中軸對(duì)稱變換的空間認(rèn)知與性質(zhì)理解。初中數(shù)學(xué)幾何圖形中軸對(duì)稱的含義包括：平面幾何圖形中的對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，同一夾角在翻折前后的對(duì)應(yīng)角相等，同一圖形在翻折前后的對(duì)應(yīng)線段相等。當(dāng)然，在應(yīng)用這些原理知識(shí)解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，還要結(jié)合勾股定理、相似原理和面積公式等，綜合解題。

[例1]如圖1.1所示，已知紙片OABC為矩形。將紙片平整地放在平面直角坐標(biāo)系上，OA和OC分別落在了坐標(biāo)系的x軸與y軸上。連接OB，把矩形紙片OABC沿著OB進(jìn)行折疊。將點(diǎn)A翻折過后的落點(diǎn)標(biāo)記為A。如果OB的長度為5，tan∠BOC=12。那么，點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系上應(yīng)該表示為（）。

圖1.1圖1.2

[解析]根據(jù)題意可以求得，矩形紙片OABC中的AB=2，OA=1.

方法一：如圖1.2所示，過點(diǎn)A作AE⊥OC于E。∵∠1=∠2=∠3∴OD=BD

假設(shè)BD=OD=t，可以推出DA=BA-BD=AB-BD=2-t

在直角三角形ODA中，∵OA2+DA2=OD2∴12+（2-t）2=t2t=54

RtΔODA的面積SΔODA=12×OD×EA=12×OA×DA

∵54×EA=34∴EA=35

依據(jù)直角三角形中的勾股定律可以得出OE=45

所以，點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系里的坐標(biāo)為（-35，45）

方法二：如圖1.3所示，過點(diǎn)A作FA⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥FA，交FA的延長線于點(diǎn)E。

∵∠OAB=∠OAB=90°∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°∴∠1=∠3

∵∠E=∠AFO=90°∴ΔOFA∽ΔBEA且相似比ΔOFA：ΔBEA=1：2

假設(shè)OF=t，則有EA=2t，F(xiàn)A=2-2t，EB=4-4t

由AF=BE4-4t=t+1可以算出t=35

∵FA=2-2t=45∴A（-35，45）

方法三：如圖1.4所示，連接AA，交OB于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作GA⊥x軸于點(diǎn)G。

∵A和A關(guān)于OB翻折對(duì)稱∴AA⊥OB且HA=HA=25∠1+∠2=90°

又∵∠1+∠3=90°∴∠2=∠3

∵∠AGA=∠OAB=90°∴ΔGAA∽ΔOAB其且ΔGAA：ΔOAB=45：5=45

GA'OA=GAAB=45∵GA'1=GA2=45∴GA=45，GA=85，GO=35

所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-35，45）

該題有三種解題方法，由于篇幅有限，在此不便做多討論。

二、用圖形變換的思想指導(dǎo)添加輔助線

在初中數(shù)學(xué)的平面幾何中，輔助線的添加對(duì)解題思路有著關(guān)鍵性的幫助作用。有的時(shí)候，學(xué)生在看到已經(jīng)答案解析中已經(jīng)添加好的輔助線都不免驚嘆，到底是怎樣奇妙的數(shù)學(xué)思維，才能想出這樣絕妙的輔助線添加法？《圖形與變換》中的變換思想為學(xué)生指明了方向與出路。變換思維的最大特點(diǎn)就是平面圖形在變形前后是完全相等的，只是在空間中的位置發(fā)生了一定的變化。

以二維圖形變換思想中的位置平移為例，通過對(duì)平面圖形進(jìn)行合理的平移，使得原本分散的線索與條件集中到了一起。這種利用平移思維解決數(shù)學(xué)幾何圖形問題的解題方法叫做平移變換法。

[例2]如圖2.1所示，已知ΔABC中的∠C=90°，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC和AC上的點(diǎn)，AC=BD，AE=CD，AD和BE相交于點(diǎn)P，求∠BPD的夾角度數(shù)。

圖2.1圖2.2圖2.3

[解析]∵ΔABC中的∠C=90°∴ΔABC為直角三角形。

方法一：如圖2.2所示，過點(diǎn)D作DF⊥BC，在DF上取一點(diǎn)F，使AE=DF，得到平行四邊形AEFD，且ΔACD和ΔBDF是相似三角形的關(guān)系。

假設(shè)BD=a，AE=b，則有BF=EF=a2+b2

∵BE2=BC2+EC2=（a+b）2+（a-b）2=2（a+b）2BE=2BF

∴ΔBEF是等腰直角三角形，∠BEF=45°

又∵AD//EF∴∠BPD=∠BEF=45°

方法二：如圖2.3所示，將AD平移到BF的位置上。∵ΔBEF是等腰直角三角形∴∠BPD=∠BEF=45°

方法三：如圖2.4所示，將BE平移到AF的位置上。∵ΔADF是等腰直角三角形∴∠BPD=∠DAF=45°

方法四：如圖2.5所示，將BE平移到DF的位置上。∵ΔADF是等腰直角三角形∴∠BPD=∠ADF=45°

該題有四種解題方法，由于篇幅有限，在此不便做多討論。

結(jié)束語

通過平面圖形在空間上的變換，讓晦澀抽象的數(shù)學(xué)思維變得生動(dòng)具體，原本被局限于數(shù)字、計(jì)算和平面圖形上的數(shù)學(xué)思想也被拓展到了立體空間的范圍內(nèi)。《圖形與變換》的習(xí)題教學(xué)可以幫助學(xué)生有效提升自己在視覺上的圖形感官能力和思維上的空間邏輯能力，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一種重要教學(xué)方式。

（作者單位：四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1]何佳. 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究[D].蘇州大學(xué)，2011.

[2]包慧慧. 初中平面幾何變換教學(xué)研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2014.

[3]陳榮榮. 初中教師關(guān)于幾何變換的認(rèn)識(shí)及教學(xué)研究[D].首都師范大學(xué)，2009.

[4]左彩榮. 初中數(shù)學(xué)“圖形與變換”習(xí)題教學(xué)研究分析[J]. 新課程導(dǎo)學(xué)，2014，31：85.