基于數學史和《原本》思想的勾股定理教學價值思考*

摘 要勾股定理是一個基本而重要的幾何定理，定理本身及其證明蘊含著豐富的數學思想和美學價值?；诠垂啥ɡ淼陌l現和證明的歷史過程以及《原本》的思想啟示，從教學的角度重新認識它的作用和價值，有助于我們深入認識勾股定理和進行有效的教學設計。

關鍵詞勾股定理 數學思想 教學價值 教學設計

勾股定理是一個基本的幾何定理，在中學數學和歐幾里得《原本》中都占據非常重要的地位。通過勾股定理，我們可以推導出許多其他的定理和命題，這大大地方便了幾何問題的解決，也使數學的發展邁出了一大步?，F發現勾股定理約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。在形式和應用上看起來如此簡單的定理，為什么會吸引那么多人去尋找各種證明方法？勾股定理的主要價值在哪？它應帶給我們怎樣的思考和啟示？已有文獻[1，2]從不同的視角探討勾股定理的教育價值。筆者則試圖在追尋勾股定理發現和證明的歷史中，重溫歐幾里得《原本》處理數學證明的思想，從教學的角度重新認識勾股定理的作用和重要價值。

一、勾股定理的發現與證明

勾股定理起源于實際測量和計算是沒有疑問的。在中國，《周髀算經》中記載了三國時期趙爽為證明勾股定理所作的“勾股圓方圖”即“趙爽弦圖”（如圖1）。這是極具東方特色的勾股定理無字證明法，證明的思路直觀體現在由四個直角三角形所構造的正方形圖形中。東漢末年數學家劉徽注《九章算術》中根據“出入相補原理”即割補術給出了“青朱出入圖”（如圖2），運用數形關系證明了勾股定理，但沒有給出具體的證明過程。

在西方，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理。直角三角形中的三邊關系，早在古巴比倫時期人們就已經知道并用于計算，他們還知道許多勾股數組。但在巴比倫人的數學中肯定還沒有嚴格證明的思想，他們是在解決實際問題中從直觀認識得出結果并用于一般情況。而在古希臘，勾股定理雖然以畢達哥拉斯命名，但許多研究表明這個學派可能并未給予證明，最合理的解釋是：他們根據一些特例來肯定所得的結果[3]。有史學家把《原本》中關于此定理的證明歸功于歐幾里得，證明過程突出體現了《原本》證明數學問題時所采用的主要思路——數形結合、轉化與等積變換的思想。

二、《原本》中重要的數學思想

《原本》是最早一本知識豐富且以公理化體系組織內容的數學書，全書十三篇集結了希臘古典時期數學工作的精華，涉及算術、代數、平面與立體幾何?，F行中小學數學教材中算術、代數和幾何的內容大都出自《原本》。因此，了解《原本》在證明定理和命題時所采取的主要數學思想，不僅能對勾股定理有更深層次的認識，還有助于我們對中學數學內容的整體把握和進行有效的教學設計。

《原本》最突出的特點在于公理化體系的演繹推理。在處理數學證明時主要涉及到歸納猜想、分類討論、數形結合、歸謬法、窮竭法、等積（等面積或等體積）變換等數學思想方法。比如，在第五篇的比例論中主要體現了分類的思想；在處理關于曲線和曲面所圍圖形的面積和體積時，主要應用歸謬法和窮竭法；在算術（數論）、代數和幾何的內容中，體現最為突出的是轉化、等積變換和數形結合的思想。對于中學數學教學內容，不管是在幾何還是在代數方面，這些思想的適用性都十分廣泛。

三、勾股定理的教學價值及其處理

1.勾股定理教學重點的定位偏差

探究性教學方式是新課程理念下所強調的教與學的主要形式。因此，大部分的教學設計都把重點放在引導學生探究勾股定理的發現與證明的過程上。雖然定理的內容和證明過程簡單直觀，但回望歷史我們能體會到，要在課堂教學中讓學生真正地去“再發現”定理及其證明是極度困難的事[2]。倘若讓學生像教材那樣通過測量、面積拼補的數學活動去發現定理，這屬于知道定理后的驗證，并不是真正意義的探究和數學再發現。但已有研究[2，5]發現，這是目前探究勾股定理常用的兩種教學方法。

2.勾股定理的價值及其教學思考

從勾股定理的發現和證明的歷史發展看，定理有其實際應用價值且蘊含了豐富的數學思想，如特殊到一般、歸納猜想、轉化和數形結合的思想。古代中國和古希臘人對定理的證明也彰顯了東西方不同的數學文化和精神。從《原本》中我們可以獲得啟示，承載在勾股定理證明之上的數學思想是《原本》的精髓部分，核心體現了處理中學幾何和代數問題的常用方式。所以實際上勾股定理在中學數學中的價值還在于它為幾何與代數架設了一座橋梁，起到了傳承的作用。

基于對數學史和《原本》思想的認知，勾股定理的教學價值在于：一是它能解決實際問題；二是定理和定理證明蘊含著豐富的數學思想。這些是學生為什么要學、教師為什么要教的原因。因此，勾股定理的教學重點在于：讓學生體會應用價值的基礎上突出對數學思想的把握和數學文化的對比。而根據弗賴登塔爾的數學教學觀點[6]，數學的學習應是一個數學知識再發現、再創造的活動過程。教師應帶領學生在做中學、重走發現之路，通過相應的情景體驗所學知識的重要性，并從中獲得具體的知識和一般的思想方法。結合弗賴登塔爾的教學理念和勾股定理的價值定位，筆者對勾股定理教學的幾個重要環節提出建議。

環節1：設置適當的現實的生活情景，激發學生求知欲

這個環節主要是讓學生體會到學習勾股定理的現實需要及其應用價值。已有不少好的情景設計可供大家參考[5][7]，這里不再贅述。

環節2：簡單介紹有關勾股定理的歷史，體會知識的形成過程

從巴比倫人解決實際問題中發現直角三角形三邊關系，到畢達哥拉斯學派用特例肯定結果，再到歐幾里得給出嚴格證明的過程，體現了觀察、歸納、猜想、證明的合情推理數學思想。同時也印證了數學的知識大都來源于實際生活的需要，這是數學發展的動力之一。通過了解歷史，讓學生對以上兩個方面有所理解。

環節3：展示定理的證明過程，突出其豐富的數學思想（替代讓學生探索定理的證明過程）

展示定理的證明，習得證明的方法。更重要的是讓學生體驗并獲得承載在證明之上的數學思想，這對學生后續的學習乃至終身都是有益的。

引領學生進行歐幾里得的證明，揭示蘊含的數學思想。其一，將直角三角形三邊關系轉變為面積關系來考慮問題，體現了由線段長度向面積轉化的思想。其二，證明過程中利用面積相等的理論進行圖形間的相互轉換，體現了等積變換的思想。其三，這個定理還告訴我們怎樣作一個正方形使其面積為所給兩個正方形面積之和，即求x，使得x2=a2+b2。因此，證明過程更深層次的意義在于給我們提供了一個解決代數問題的思路：許多代數表達式中兩數乘積、三數乘積可轉化為面積、體積來處理。這些體現了重要的數形結合思想，它貫穿了整個中學數學的教與學。

環節4：東西方證明方法對比，領略數學思想的統一性和數學文化的差異性

根據時間的充裕程度，選擇“趙爽弦圖”、“青朱出入圖”中一個或兩個向學生展示說明證明的思路和特點。中國古代和歐幾里得證法都充分運用了面積轉化理論，卻又各具特色。歐幾里得證法推理嚴謹，重在演繹；趙爽和劉徽的證法通俗易懂，重在應用。兩者的證明也反映了古代中國和古希臘兩種不同風格的數學文化。古希臘人追求用公理進行邏輯推演，注重理性思維的培養；而中國古代數學則崇尚實用和算法。等式a2+b2=c2，簡潔、對稱，證明的方法多樣、直觀，圖形構造簡單又不失美感。因此，勾股定理的內容和證明所體現的美學價值，也是吸引眾多的數學愛好者尋找各種證明的原因之一。

參考文獻

[1] 王芳，張維.多元文化下的勾股定理[J].數學教育學報，2004（4）.

[2] 楊小麗.勾股定理的PCK內涵解析[J].數學通報，2011（3）.

[3] 莫里斯克萊因.古今數學思想（第一冊）[M].上海：上?？茖W技術出版社，2014.

[4] 王海青.新課程下不可遺忘的幾何教學寶劍——面積法[J].數學教學研究，2008（2）.

[5] 李慶輝.《勾股定理》教學設計比較研究[J].中國信息技術教育，2009（17）.

[6] 弗萊登塔爾.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1992.

[7] 張蜀青，曹廣福.以問題驅動的原理課教學——以勾股定理教學為例[J].中學數學月刊，2014（8）.

【責任編輯 郭振玲】