高中數學數形結合思想及其實踐探究

柳玉鳳

摘 要：“數形結合”思想是數學最基本的思想方法之一，貫穿于中小學數學教學的始終. 本文在從現代數學視角下的數形結合思想方法的內涵意義闡述的基礎上，分析了高中數學教學中滲透數形結合思想方法的必要性，提出了一些高中數學教學中滲透數形結合思想方法的策略.

關鍵詞：數形結合；數學思想；滲透；策略

數學思想方法是數學知識的精髓，也是引導和促進學生將知識轉化為能力的橋梁. 作為數學最基本的思想方法之一，“數形結合”思想始終貫穿于中小學數學教學的始終. 《高中數學新課程標準》指出：教學中教師“要注重數與形的聯系，在學習數學和應用數學中不斷體會數形結合的思想方法.” 然而在數學教學實踐中，教師對數形結合思想的重要性認識不足，或因受教材編寫所限，在具體教學時對數形結合思想的貫徹和落實就帶有一定的盲目性和隨意性. 因此在高中數學教學中，教師要根據高中數學知識的特點，注重數與形的聯系，強化數形結合思想方法的滲透與訓練，恰到好處地向學生充分展示知識的形成過程，使學生在學會和掌握重要數學知識的同時，不斷地體會數形結合的思想方法，學會用數學思想指導知識應用，獲得必要的數學應用技能，形成優良思維品質，發展數學能力.

現代數學視角下的數形結合思想方法的內涵意義

所謂“數形結合”，就是把數學中兩個非常重要的元素——數量關系和空間形式緊密結合起來，使代數問題與圖形問題在抽象思維和形象思維的相互作用中彼此轉化，代數問題幾何化，幾何問題代數化.由此可見，“數形結合”不僅是一種數學思想，而且也是一種數學解題工具，一種解決問題的策略意識.可以說“數形結合”的思想方法無時無刻不活躍在學生的數學學習活動之中. 在高中數學教學始終圍繞“形”“數”兩個角度來引導學生進行數學學習，有利于使數學中的復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有利于學生形成完整的數學概念和深層次的把握數學概念的本質，加深對數學知識的理解和記憶，構建和優化數學認知結構. 同時能使學生在積極參與教學活動的過程中，不斷積累數學活動經驗，提高數學思維，從而獲得終身受益的數學思想方法和解決問題能力.

高中數學教學中滲透數形結合思想方法的必要性

1. 滲透數形結合思想方法是落實課標精神的需求

《普通高中數學課程標準》指出：基本數學思想是學生的數學學習目標之一，要求學生在掌握數學基礎知識的同時要掌握基本的數學技能和基本的數學思想. 因此在數學教學中應以數學知識為載體，注重數與形的聯系，將數和形完美地統一起來，促進學生數形轉化能力和創造性思維能力的培養.

2. 滲透數形結合思想方法是發展學生思維的需求

在數學教學中有效滲透數形結合思想方法，通過或是化抽象為直觀，或是化技巧為程序操作，不僅能使學生數學的思考具有條理性，能多層次和多角度地來思考問題，而且可以幫助學生樹立良好的現代數學思維意識，拓展學生尋找解決問題的途徑和發散解題思維，促進學生在將來的學習中能自覺進行數學的思考.

3. 滲透數形結合思想方法是處理好教與學的需求

在數學教學實踐中，不少教師對數形結合思想的重要性認識不足，對數形結合思想的貫徹和落實帶有一定的盲目性和隨意性，在數學知識的教學過程中不能合理布點、由淺入深，從數到形的轉換過程過于簡單，致使高中生對“數”和“形”的理解比較狹隘，運用數形結合法解題時出現構圖不當、轉換失真、數與形不等價、條件理解不深刻等問題，未能有效提高學生的解題能力.

基于以上三方面的分析，可以看出，滲透數形結合思想方法既是落實課標精神的要求，也是學生發展的要求，更是徹底改善目前高中數學教與學現狀的需要. 在高中數學教學中只有效滲透數形結合思想方法，才能讓學生在主動參與的學習過程中不斷體會數形結合的意義所在，獲得終身受益的數學思想方法和解決問題的能力，促進學生數學的發展.

高中數學教學中滲透數形結合思想方法的策略

1. 恰當運用多媒體技術手段動態展現數形結合思想方法

信息技術具有動態可視化的效果，因此教學中可以利用多媒體技術來展現數形結合方法，動態變化的演示過程不僅能將抽象的數學知識直觀形象、變化有序地展示在學生面前，驗證發現數學規律，培養學生的動態感，而且為學生進行建構性學習提供了有利的平臺，使學生學會利用動態的眼光去看待問題.

高中解析幾何不僅是數和形的緊密結合，具有利用方程的性質來研究相應的幾何圖形的特點，而且它是把曲線，也包括直線看作按一定的幾何條件運動的集合.因此教學中用多媒體把“數”和“形”的潛在關系動態地顯示出來，并有針對性地加以講解或組織學生討論. 通過觀察、驗證、對比等一系列探究性活動尋找到一般規律和特殊屬性，從而充分揭示教學內容中內在的辯證關系，加深學生對幾何圖形的感知和理解，從而培養學生用運動、變化的觀點分析和解決問題的習慣，最終理解和掌握所學知識的實質.

2. 在探尋知識意義的實踐活動中滲透數形結合思想方法

數學學習的過程不只是數學知識的習得，而應是引導學生在“經歷”“體驗”知識的產生、發展和形成過程中發展能力. 因此在高中數學教學中教師要創設開展數學活動的良好情境，給予學生充分的從事數學活動的時間和空間，在親歷中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗，發展數學思維.

如，在教學“函數的單調性”時，筆者安排了三個層次的教學活動：（1）以實際生活中的氣溫變化表、股市走勢等讓學生利用已有的知識經驗進行思考；（2）出示函數圖象，引導學生將圖象中上升或下降的趨勢用自己的語言描述出來；（3）用幾何畫板動態演示，讓學生觀察隨著x值的變化，函數值f（x）是如何變化的，然后再用數學語言對圖形中的上升或下降趨勢加以描述. 將圖象語言、符號語言、文字語言相結合，在探究、經歷“函數單調性”的數學活動過程中使學生對“函數單調性”本質內涵進行理解，體驗數形結合的數學思想方法.

3. 在解題過程中合理引導學生使用數形結合思想方法

數學學習的目的，不僅是引導學生學會和掌握數學知識，更重要的是學會用數學思想指導知識的應用. 作為解決數學問題時“由數思形”或“由形思數”的一種數學思想，它可以有效地將數字和圖形相互轉化，利用形象解決抽象，實現化難為易的效果. 因此教師在平時的教學中應有意識地引導學生把數形結合的思想運用于解答數學問題中去，提高學生的分析及解決問題的能力.

（1）由數思形，以形得數

如：已知f（x）=x2+4x+3，求f（x）在閉區間[-3，1]上的最大值、最小值.

分析：f（x）=x2+4x+3=（x+2）2-1圖象的開口向上，對稱軸x=-2，作此二次函數的大致草圖（如圖1），對稱軸在區間內，并在區間中點的左側，故f（x）max=f（1）=8，f（x）min=f（-2）=-（2）由形思數，以數論形

如：如圖2，AB為半圓O的直徑，且AB=2，P是延長線上一點，且OP=2，Q為半圓上任一點，以PQ為一邊向△OPQ的外部作等邊三角形PQR，求四邊形OPRQ的面積的最大值，并求當四邊形OPRQ面積最大值時∠QOP的值.

分析：要確定四邊形面積的最大值，必須由題目條件結合圖形，把面積的表達式寫出來.

設∠QOP=θ，則在△OPQ中，由余弦定理可得PQ2=5-4cosθ，故

.

四邊形OPRQ面積的最大值為，此時θ-=，所以θ=.

在引導學生對知識的反思的過程中提煉數形結合思想

高中數學很多知識點屮都蘊含數形結合思想，可以說貫穿于高中數學學習的始終. 然而在數學問題解決的過程中，很多教師往往就題論題，告知學生此題可利用數形結合思想來解，這樣不利于學生達到真正意義上的理解和接受. 因此教師要徹底改變重視“教”而忽略“學”的現狀，不僅要在整體上做好分類，有目的、有計劃地選取典型例題進行分析和講解，而且還應積極引導學生進行反思與歸納，在對知識的反思的過程中提煉數形結合思想，從而構建完整的數形結合解決問題的策略體系.

總之，在高中數學教學中教師要從著眼于學生數學能力的提高的視角，在數學教學中體現對數形結合思想方法的關注和重視，注重學生數學思想方法的激活，讓學生從解決問題的方法和過程中感悟與體會數學思想方法，在親歷自主探究解決問題的過程中實現知識的完整建構，促進學生數形轉化、遷移思維與分析問題及、解決問題能力的提升，發展數學素養.